Однофакторный дисперсионный анализ. Задачей дисперсионного анализа является изучение влияния одного или нескольких факторов на рассматриваемый признак

Задачей дисперсионного анализа является изучение влияния одного или нескольких факторов на рассматриваемый признак.

Дисперсионный анализ используется в тех случаях, когда есть в распоряжении три или более независимые выборки, полученные из одной генеральной совокупности путем изменения какого-либо независимого фактора.

Для этих выборок предполагают, что они имеют разные выборочные средние и одинаковые выборочные дисперсии. Поэтому необходимо ответить на вопрос, оказал ли этот фактор существенное влияние на разброс выборочных средних или разброс является следствием случайностей, вызванных небольшими объемами выборок. Другими словами если выборки принадлежат одной и той же генеральной совокупности, то разброс данных между выборками (между группами) должен быть не больше, чем разброс данных внутри этих выборок (внутри групп).

Пусть – – элемент () -выборки (), где – число выборок, – число данных в - выборке. Тогда – выборочное среднее - выборки определяется по формуле:

.

Общее среднее определяется по формуле:

, где .

Общее тождество дисперсионного анализа имеет вид:

,

где - сумма квадратов отклонений выборочных средних от общего среднего (сумма квадратов отклонений между группами); - сумма квадратов отклонений наблюдаемых значений от выборочной средней (сумма квадратов отклонений внутри групп); - общая сумма квадратов отклонений наблюдаемых значений от общего среднего .

Расчет сумм этих квадратов отклонений осуществляется по следующим формулам:

;

;

.

В качестве критерия необходимо воспользоваться критерием Фишера:

.

Если расчетное значение критерия Фишера будет меньше, чем табличное значение – нет оснований считать, что независимый фактор оказывает влияние на разброс средних значений (измерения статистически однородны), в противном случае, независимый фактор оказывает существенное влияние на разброс средних значений (измерения в группах статистически неоднородны) ( – уровень значимости, уровень риска, обычно для экономических задач ).

Постановка задачи: Для обеспечения необходимых объемов выпуска при серийном производстве нередко осуществляется одновременное изготовление изделий на нескольких однотипных технологических установках. Чтобы быть уверенным в получении однородной совокупности изделий, необходимо узнать, является ли работа однотипных установок идентичной.

Имеется 3 типа сверлильных станков, настроенных на один и тот же номинальный диаметр отверстий равный 150мм. Результаты измерений диаметров отверстий приведены в таблице 5.

Таблица 7 - Результаты измерений диаметров отверстий

Станок 1	Станок 2	Станок 3

Таким образом на основании результатов измерений необходимо выяснить влияет ли тип станка на качество производимых деталей. Другими словами необходимо проверить гипотезу об отсутствии влияния типа станка на качество производимых деталей.

Создадим в системе Statistica электронную таблицу с исходными данными (Рисунок 80). Таблица будет содержать два столбца («Станки» и «Диаметр») и 60 строк.

Рисунок 80 - Фрагмент электронной таблицы с исходными данными

Далее необходимо выбрать статистический модуль для проведения однофакторного дисперсионного анализа. Для запуска модуля выполнить «Statistics»®«ANOVA» (Рисунок 51). В появившемся диалоговом окне модуля «ANOVA/MANOVA» (Рисунок 81) в поле «Type of analysis» (тип анализа) выбрать «One-way ANOVA» (однофакторный дисперсионный анализ). В поле «Specification method» (способ построения модели) выбрать «Quick specs dialog» (диалог). Также можно использовать «Analysis wizard» (мастер анализа) в качестве способа построения модели. После выбора типа и способа анализа нажать кнопку «OK».

Рисунок 81 - Главное окно модуля ANOVA /MANOVA

Рисунок 82 - Диалоговое окно однофакторного дисперсионного анализа

В результате появится диалоговое окно однофакторного дисперсионного анализа (Рисунок 82). Для задания переменных нажать кнопку «Variables». В появившемся диалоговом окне (Рисунок 83) в качестве зависимой переменной выбрать «Диаметр», а в качестве фактора (независимой переменной) выбрать «Станки» и нажать кнопку «OK».

Рисунок 83 - Диалоговое окно выбора переменных

В итоге появится окно анализа результатов (Рисунок 84).

Рисунок 84 - Окно анализа результатов

В этом окне «Confidence limits» это доверительный интервал, а «Significance level» - уровень значимости. Обычно уровень значимости задается равным 0,05 или 0,01.

Для получения результатов дисперсионного анализа нажать кнопку . В результате получим таблицу влияния всех эффектов на исследуемый признак (Рисунок 85).

Рисунок 85 - Таблица влияния эффектов на исследуемый признак

В этой таблице:

1) SS – сумма квадратов отклонений (значение в строке «Станки» соответствует , а в строке «Error» соответствует );

2) Degr. of Freedom – число степеней свободы (значение в строке «Станки» соответствует , а в строке «Error» соответствует );

3) MS – сумма квадратов отклонений деленная на число степеней свободы. При вычислении критерия Фишера число находящееся в строке «Станки» является числителем, а число в строке «Error» является знаменателем.

4) F – значение критерия Фишера;

5) - уровень значимости.

Табличное значение критерия Фишера . Так как расчетное значение критерия Фишера равное 1,80 меньше табличного на уровне значимости 0,05 то можно сделать вывод что тип станка не влияет на качество изготавливаемых деталей. Другими словами, мы принимаем гипотезу об отсутствии влияния типа станка на качество производимых деталей.

Можно воспользоваться графическими средствами для просмотра результатов анализа. Для этого нажать кнопку и в окне анализа результатов (Рисунок 84) нажать кнопку . В появившемся окне (Рисунок 86) задать графический способ отображения результатов (выбрать Graph) и нажать кнопку «OK».

Рисунок 86 - Окно выбора способов представления результатов

Рисунок 87 - График зависимости среднего диаметра отверстия от типа станка

На экране появятся графические результаты анализа (Рисунок 87) – график зависимости среднего диаметра отверстия от типа станка. Вертикальными линиями отображены 95% доверительные интервалы. В верхней части графика указано расчетное значение критерия Фишера и его уровень значимости.

Дата добавления: 2014-11-29