Основные понятия. Вектором называется направленный отрезок , в котором точка рассматривается как начало, а точка – как его к

Вектором называется направленный отрезок , в котором точка рассматривается как начало, а точка – как его конец.

Проекцией вектора на ось называется длина вектора , где и – проекции точек и на ось (основания перпендикуляров, проведенных из точек и на ось ):

.

Проекция вектора на ось равна его модулю, умноженному на косинус угла наклона вектора к этой оси:

,

где - угол наклона вектора к оси .

Замечание. Если направление вектора совпадает с направлением оси, то берем полученное значение со знаком “+”, в противоположном случае – со знаком “–”.

Координатамивектора называются проекции этого вектора на оси координат:

, ,

и записываются:

или .

Координаты вектора равны разностям соответствующих координат его конца и начала , т.е.

.

Длиной (модулем) вектора называется длина отрезка и обозначается . Длина (модуль) вектора равна корню квадратному из суммы квадратов его координат:

.

Коллинеарными называются два параллельных или лежащих на одной прямой вектора. Векторы коллинеарны тогда и только тогда, когда их координаты пропорциональны, т.е. векторы и коллинеарны, если выполняется соотношение:

.

Нулевым вектором называется вектор, длина которого равна нулю. Этот вектор считается коллинеарным любому вектору.

Единичным вектором (ортом) называется вектор, длина которого равна единице.

Компланарными называются три вектора и более векторов, если они, будучи приведены к общему началу, лежат в одной плоскости.

Равными называются два коллинеарных вектора, имеющих одинаковые направления и одинаковые длины.

Противоположными называются два коллинеарных вектора одинаковой длины и противоположных по направлению. Вектор, противоположный вектору – есть вектор (), т.е.

, .

Пример 1.1. При каком значении векторы и будут коллинеарными?

Решение. Для того, чтобы векторы были коллинеарными, необходимо, чтобы их координаты были пропорциональны, т.е.

.

Подставим координаты векторов в это соотношение:

,

тогда

.

Пример 1.2. Даны точки , . Найти проекцию вектора на ось , если известно, что вектор и ось образуют между собой угол в .

Решение.

. В нашем случае , . Найдем координаты вектора . По формуле , получим, что

.

Определим длину вектора:

.

Итак,

.

2. Линейные операции над векторами

Суммой двух векторов и называется вектор , который идет из начала вектора в конец вектора , при условии, что начало вектора приложено к концу вектора . При сложении векторов их координаты складываются, т.е. если , , то

.

Суммой векторов называется вектор , идущий из начала вектора в конец вектора , при условии, что начало вектора приложено к концу вектора , начало вектора – к концу вектора , и т.д. пока не дойдет до вектора .

Если , ,…, , то

.

Замечание. Если конец вектора совпадает с началом вектора , то сумма и вектор является нулевым.

Разностью векторов и называется вектор , который в сумме с вектором составляет вектор .

Разностью двух векторов, приведенных к общему началу, является вектор, идущий из конца “вычитаемого” вектора в конец “уменьшаемого”.

При вычитании векторов их координаты вычитаются, т.е. если , , то

.

Произведениемвектора на число называется вектор, который коллинеарен вектору , имеет длину , и направление такое же как у вектора , если , и противоположное, если . При умножении вектора на число координаты вектора умножаются на это число, т.е.

.

Свойства линейных операций над векторами

1^о .

2^о .

3^о .

4^о .

5^о .

6^о .

7^о .

Дата добавления: 2014-11-29