КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Зразки розв’язування задач
Приклад 1. Знайти частинні похідні функції Розв’язання. Вважаючи сталим, дістанемо: . Вважаючи сталим, дістанемо:
Приклад 2. Знайти частинні похідні другого порядку функції . Розв’язання. Знайдемо частинні похідні першого порядку: ; Диференціюємо повторно, дістанемо: , або Тобто, . Приклад 3. (Задача 3.1) Перевірити, що функція задовольняє умові Знайти частинні похідні. Розв’язання. Знайдемо частинні похідні: Отже,
Таким чином доведено, що функція задовольняє умові Знайдемо частинні похідні другого порядку: ; ; . Похідна за напрямом. Нехай функція визначена в деякому околі точки – вектор з початком в точці , – точка околу, що лежить на векторі , – приріст аргументу на промені . Якщо існує , то ця границя називається похідною функції за напрямом вектора у точці , тобто: Похідна за напрямом характеризує швидкість зміни функції у точці за напрямом вектора . Якщо функція має в точці неперервні частинні похідні, то в цій точці існує похідна за напрямом вектора , причому, , де ; ; . (4.1) Градієнтом функції називається вектор, координатами якого є значення частинних похідних функції в точці : , (4.2) Градієнт функції в точці характеризує напрямок та величину максимального зростання функції в точці . Приклад (Задача 3.2). Для функції знайти градієнт в точці і похідну в точці за напрямом вектора , де . Розв’язання. Знайдемо частинні похідні функції в точці : , , . За формулою дістанемо: . Знайдемо похідну функції в точці за напрямом вектора . Знайдемо координати вектора та його напрямні косинуси: , отже ; ; ; . За формулою дістанемо: . Екстремум функції двох змінних. Функція має в точці локальний максимум (мінімум), якщо існує окіл точки , в якому при виконується нерівність (відповідно , для всіх точок , що належать даному околу). Точка називається точкою локального екстремуму функції . Необхідна умова екстремуму. Якщо диференційована функція досягла екстремуму в точці , то в цій точці: , (4.3) або в цій точці частинні похідні не існують. Точки, в яких виконуються ці умови називаються стаціонарним. Достатні умови екстремуму. Нехай у стаціонарній точці , та в деякому околі цієї точки функція має неперервні частинні похідні другого порядку: ; ; . (4.4) Тоді: 1) має в точці максимум, якщо та ; (4.5) 2) має в точці мінімум, якщо та ; (4.6) 3) не має екстремуму, якщо ; (4.7) 4) Якщо , тоді екстремум в точці може існувати, а може і не існувати, тобто в цьому випадку потрібні додаткові дослідження. Приклад 4. Дослідити на екстремум функцію . Розв’язання. Знайдемо частинні похідні: ; . Використаємо необхідну умову існування екстремуму: звідки . Точка − стаціонарна (в цій точці виконується необхідна умова). Знайдемо значення других похідних у точці : ; ; , тоді , , , отже . Оскільки і (за (4.6)), то в точці функція має мінімум . Зауваження. З необхідними та достатніми умовами екстремуму функції багатьох змінних можна познайомитися у вказаній на початку параграфа літературі. Приклад 5. (Задача 3.3). Нехай фірма випускає два види товарів. Позначимо їх обсяги через і . Нехай ціни на ці товари відповідно , ум. од., а функція витрат . Знайти максимальний прибуток, який може одержати фірма. Розв’язання. Функція прибутку фірми: . Для цієї функції потрібно знайти екстремум. Знайдемо стаціонарні точки:
, отже стаціонарна точка . Перевіримо достатні умови локального екстремуму. ; ; Тоді , так як , то точка − точка локального максимуму. Максимальний прибуток фірми: ум. од. Таким чином максимальний прибуток фірма отримає при даному спектрі цін, що склалися на ринку, якщо буде випускати одиниці виду і одиниці виду товарів. Метод найменших квадратів можливої лінійної залежності між змінними На практиці, зокрема в прикладних питаннях економіки, часто виникає потреба знайти залежність між змінними на підставі проведених експериментів і спостережень. Нехай потрібно визначити залежність між двома змінними і для яких із практичних досліджень відомо, що значення відповідають значенням . Результати експерименту подано в таблиці:
Точки з координатами на площині утворюють деяку лінію. Наприклад, виявилося, що точки групуються вздовж деякої прямої. Тоді природно шукати аналітичну залежність у вигляді лінійної функції . Отже, задача зводиться до знаходження таких і , щоб шукана пряма якнайточніше наближалася до всіх точок . Для знаходження коефіцієнтів і використовують метод найменших квадратів. Було доведено, що ці коефіцієнти можна знайти з системи рівнянь: (4.8)
Приклад 6. (Задача 3.4) Результати експерименту приведено в таблиці:
Методом найменших квадратів знайти параметри і функції . Розв’язання. Побудуємо точки з координатами на координатній площині (Рис.6). Припустимо, що між ними існує лінійна залежність .
Знайдемо і з системи (4.8):
Обчислюємо: ; ; ; . Складемо систему: Розв’яжемо за формулами Крамера: , Таким чином, пряма, яку шукали, задається рівнянням .
Дата добавления: 2014-11-29; Просмотров: 6630; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |