Вращательное движение твердых тел

.

.

Учитывая, что , получаем систему:

Складываем почленно эти уравнения:

Отсюда получаем выражение для ускорения:

.

Подставляем числа:

.

Из уравнения 2) выражаем силу натяжения: .

Подставляем числа: .

Ответ: ; .

Задача 3. Движущееся тело массой ударяется о неподвижное тело массой . Считая удар упругим и центральным, определите, какую часть своей первоначальной кинетической энергии первое тело передает второму при ударе. Задачу решите сначала в общем виде, а затем рассмотрите случаи: 1) ; 2) .

Дано: , , , ; 1) ; 2) .	Решение: Пусть скорость первого тела до удара . Скорость второго тела до удара . Кинетическая энергия первого тела до удара . Предположим, что скорость второго тела после удара равна . Тогда кинетическая энергия второго тела после удара , а отношение энергий
-?

. (1)

Для определения скорости второго тела после удара запишем закон сохранения импульса в проекции на направление движения и закон сохранения механической энергии, полагая, что система тел замкнута и в ней действуют только консервативные силы.

(2)

Преобразуем систему (2) к виду

(3)

Разделив одно на другое выражения системы (3), получим , а после подстановки скорости в первую формулу системы (3) получим

. (4)

Отношение энергий (1) приобретает вид

.

1) Если , то = 1. При равенстве масс первое тело полностью отдает энергию второму, т.е. первое тело остановится, а второе начнет двигаться со скоростью первого тела.

2) Если , то .

Ответ: 1) = 1; 2) .

Контрольные задания

2.1. Через неподвижный блок переброшена нить, на концах которой висят грузы с равными массами по 245 г каждый. С каким ускорением будут двигаться грузы, если на один из них положить груз 10 г? Определите натяжение нити и время, за которое один из грузов пройдет путь 1,6 м.

2.2. На нити, перекинутой через неподвижный блок, подвешены грузы массами 0,3 и 0,34 кг. За 2 с после начала движения каждый груз прошёл путь 1,2 м. По данным опыта найдите ускорение свободного падения.

Рис.2.3

2.3. Грузы одинаковой массы ( = = 0,5 кг) со­единены нитью и перекинуты через невесомый блок, ук­репленный на конце стола (рис. 2.3). Коэффициент тре­ния груза о стол 0,15. Пренебрегая трением в бло­ке, определите: 1) ускорение, с которым движутся грузы; 2) силу натяжения нити.

2.4. Тело массой 2 кг (рис. 2.4) находится на го­ризонтальном столе и соединено нитями посредством бло­ков с телами ( = 0,5 кг) и ( = 0,3 кг). Считая нити и блоки невесомыми и пренебрегая силами трения, опре­делите: 1) ускорение, с которым будут двигаться эти тела; 2) разность сил натяжения нитей.

2.5. С каким ускорением движется система, изображённая на (рис. 2.4), если масса тел и равна , а масса тела равна ? Коэффициент трения равен 0,2. Определите силы натяжения нити, связывающей тела и , и силы натяжения нити, связывающей тела и .

2.6. С вершины клина, длина которого 2 м и вы­сота 1 м, начинает скользить небольшое тело. Коэф­фициент трения между телом и клином 0,15. Опре­делите ускорение, с которым движется тело, время прохождения тела вдоль клина и скорость тела у осно­вания клина.

2.7. В установке (рис. 2.5) угол наклонной плоскости с го­ризонтом равен 30°, массы тел =200 г и =300 г. При этом тело массой движется вверх по наклонной плоскости. Коэффициент трения 0,1. Считая нить и блок невесомыми, опреде­лите ускорение, с которым будут двигаться эти тела, и силу натяжения нити.

2.8. В установке (рис. 2.5) угол наклонной плоскости с го­ризонтом равен 30°, массы тел =500 г и =200 г. При этом тело массой движется вниз по наклонной плоскости. Коэффициент трения 0,1. Считая нить и блок невесомыми, опреде­лите ускорение, с которым будут двигаться эти тела, и силу натяжения нити.

2.9. В установке (рис. 2.6) углы и с горизонтом со­ответственно равны 30° и 45°, массы тел =0,45 кг и =0,5 кг. Считая нить и блок невесомыми и пренебре­гая силами трения, определите: 1) ускорение, с которым движутся тела; 2) силу натяжения нити.

2.10. В установке (рис. 2.6) углы и с горизонтом со­ответственно равны 30° и 45°, массы тел = 1 кг. Коэффициент трения каждого тела о плоскость равен 0,1. Считая нить и блок невесомыми, определите: 1) ускорение, с которым движутся тела; 2) силу натяжения нити.

2.11. Камень, привязанный к верёвке длиной 50 см, вращается в вертикальной плоскости. Найдите, при каком числе оборотов в секунду верёвка оборвётся, если известно, что она разрывается при нагрузке, равной десятикратному весу камня.

2.12. Камень, привязанный к верёвке, вращается в вертикальной плоскости. Найдите массу камня, если известно, что разность между максимальным и минимальным натяжениями верёвки равна 10 Н.

2.13. Гирька, привязанная к нити длиной 30 см, описывает в горизонтальной плоскости окружность радиусом 15 см. Найдите частоту вращения гирьки.

2.14. Диск вращается вокруг вертикальной оси с частотой 30 об/мин. На расстоянии 20 см от оси вращения на диске лежит тело. Каков должен быть коэффициент трения между диском и телом, чтобы тело не скатилось с диска?

2.15. С какой скоростью должен ехать автомобиль массой 2 т по выпуклому мосту с радиусом кривизны 40 м, чтобы в верхней точке он перестал оказывать давление на мост?

2.16. Самолет, летящий со скоростью 250 м/с, выполняет петлю Нестерова в вертикальной плоскости радиусом 1600 м. С какой силой летчик массой 70 кг давит на сиденье в верхней и нижней точках петли?

2.17. На горизонтальной дороге автомобиль делает поворот радиусом 16 м. Какова наибольшая скорость, которую может развивать автомобиль, чтобы его не занесло, если коэффициент трения скольжения колес о дорогу равен 0,4? Во сколько раз изменится эта скорость зимой, когда коэффициент трения станет меньше в 4 раза?

2.18. Горизонтально расположенный диск проигрывателя вращается с частотой 78 об/мин. На него поместили небольшой предмет. Предельное расстояние от предмета до оси вращения, при котором предмет удерживается на диске, равно 7 см. Каков коэффициент трения между предметом и диском?

2.19. Человек сидит на краю круглой горизонтальной платформы радиусом 3 м. С какой максимальной частотой должна вращаться платформа вокруг вертикальной оси, чтобы человек мог удержаться на ней при коэффициенте трения 0,3?

2.20. Мальчик массой 50 кг качается на качелях, с длиной подвеса 4 м. С какой силой он давит на сиденье при прохождении среднего положения со скоростью 6 м/с?

2.21. Шар массой 10 кг сталкивается с шаром массой 4 кг. Скорость первого шара 4 м/с, второго 12 м/с. Найдите общую скорость шаров после удара в двух случаях: когда малый шар нагоняет большой шар, движущийся в том же направлении, и когда шары движутся навстречу друг другу. Удар считать прямым, центральным, неупругим.

2.22. Шар массой 200 г, движущийся со скоростью 10 м/с, ударяет неподвижный шар массой 800 г. Удар прямой, центральный, абсолютно упругий. Определите проекции скоростей шаров после удара. (Направление оси выбрать по движению первого шара до удара).

2.23. Граната, летящая со скоростью 10 м/с разорвалась на два осколка. Больший осколок, масса которого составляет 60% массы всей гранаты, продолжал двигаться в том же направлении, но с увеличенной скоростью, равной 25 м/с. Найдите скорость меньшего осколка.

2.24. Тележка, масса которой (без человека) 120 кг, движется по инерции по горизонтальной плоскости со скоростью 6 м/с. С тележки соскакивает человек массой 80 кг под углом 30° к направлению ее движения. Скорость тележки уменьшается при этом до 4 м/с. Какова была скорость прыжка относительно плоскости?

2.25. Шарик массой 10 г падает на горизонтальную плоскость с высоты 27 см. Найдите среднюю силу удара в случае, когда шарик пласти­линовый (абсолютно неупругий удар). Длительность удара шарика с плоскостью 0,03 с.

2.26. Движущееся тело массой ударяется о неподвижное тело массой . Считая удар неупругим и центральным, найдите, какая часть первоначальной кинетической энергии переходит при ударе в тепло.

2.27. Ядро, летевшее горизонтально со скоростью V=20м/с, разорвалось на два осколка с массами m₁=10кг и m₂=5 кг. Скорость меньшего осколка V₂ = 90м/с и направлена так же, как и скорость ядра до разрыва. Определите направление и численное значение скорости V₁ большего осколка.

2.28. Снаряд массой m =100 кг, летящий горизонтально вдоль железнодорожного пути со скоростью V₁=500 м/с, попадает в вагон с песком массой М=104кг и застревает в нем. Определите скорость вагона в следующих случаях: 1) вагон стоял неподвижно; 2) вагон двигался со скоростью V₀=10 м/с в том же направлении, что и снаряд; 3) вагон двигался со скоростью 10 м/с в направлении, противоположном движению снаряда.

2.29. Тело массой m₁ =1 кг движется горизонтально со скоростью V₁ = 1м/с и сталкивается со вторым телом массой m₂ =0,5кг. Определите скорости тел после неупругого удара, если: 1) второе тело до удара покоилось; 2) второе тело до удара двигалось со скоростью 0,5м/с в том же направлении, что и первое тело; 3) второе тело двигалось со скоростью 0,5м/с в направлении, противоположном направлению движения первого тела.

2.30. Человек массой m₁ =60 кг, бегущий со скоростью V₁ =2,5м/с, догоняет тележку массой m₂ =100кг, движущуюся со скоростью V₂ =1м/с, и вскакивает на нее.1) С какой скоростью станет двигаться тележка вместе с человеком? 2) С какой скоростью они двигались бы, если бы человек бежал навстречу тележке?

2.31. Автомобиль массой 1,8 т движется равномерно в гору, уклон которой составляет 3 м на каждые 100 м пути. Определите работу, совершаемую двигателем автомобиля на пути 5 км, если коэффициент трения равен 0,1, а также развиваемую двигателем мощность, если известно, что этот путь был преодолен за 5 мин.

2.32. Определите работу, совершаемую при подъеме груза массой 50 кг по наклонной плоскости с углом наклона 30° к горизонту на расстояние 4 м, если время подъема 2 с, а коэффициент трения 0,06.

2.33. Тело скользит с наклонной плоскости высотой и углом наклона к горизонту и движется далее по го­ризонтальному участку. Принимая коэффициент трения на всем пути постоянным и равным , определите расстояние ,пройденное телом на горизонтальном участке, до полной остановки.

2.34. Самолет массой 5 т двигался горизонтально со скоростью 360 км/ч. Затем он поднялся на 2 км. При этом его скорость стала 200 км/ч. Найдите работу, затраченную мотором на подъем самолета.

2.35. Гиря массой 10 кг падает с высоты 0,5 м на подставку, скреплённую с пружиной жёсткостью 30 Н/см. Определите при этом смещение пружины.

2.36. С башни высотой 20 м горизонтально со скоростью 10 м/с брошен камень массой 400 г. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определите для момента времени 1 с после начала движения кинетическую и потенциальную энергии камня.

2.37. К нижнему концу пружины жесткостью присоединена другая пружина жесткостью , к концу которой прикреплена гиря. Пренебрегая массой пружин, определите отношение потенциальных энергий пружин.

2.38. Из пружинного пистолета вылетела в горизонтальном направлении пулька, масса которой 5 г. Жесткость пружины 1,25 кН/м. Пружина была сжата на 8 см. Определите скорость пульки при вылете ее из пистолета.

2.39. Струя воды сечением 6 см² ударяет о стенку под углом 60° к нормали и упруго отскакивает от стенки без потери скорости. Найдите силу, действующую на стенку, если известно, что скорость течения воды в струе 12 м/с.

2.40. Из реактивной установки массой 0,5 т, находящейся первоначально в покое, в горизонтальном направлении выбрасывается последовательно две порции вещества со скоростью 1000 м/с относительно установки. Масса каждой порции 25 кг. Какой станет скорость установки после выброса второй порции? Трение отсутствует.

Дата добавления: 2014-11-29