Коливний рух точки. В даній темі при її вивченні необхідно звернути увагу на основні характеристики вільних (гармонічних) коливань: амплітуду

В даній темі при її вивченні необхідно звернути увагу на основні характеристики вільних (гармонічних) коливань: амплітуду, частоту, період, фазу.

Розглянути вільні затухаючі коливання.

Ознайомитись із поняттям резонансу.

Вивчити збурені коливаннями матеріальної точки без урахування опору середовища.

Розглянути приклад розв’язання задач про коливний рух точки.

Завдання:

Пружина АВ закріплена одним кінцем в точці А. Для її подовження на 1 см потрібно прикласти в точці В при статичному навантаженні силу в 20 г.

В деякий момент до нижнього кінця недеформованої пружини підвішують гирю вагою Р = 100 г і відпускають її без початкової швидкості. Нехтуючи масою пружини, написати рівняння дальшого руху гирі і визначити амплітуду та період її коливань: віднести рух гирі до осі, приведеної вертикально вниз з положення статичної рівноваги гирі.

Розв'язання.

Розглянемо гирю як матеріальну точку. Вибираємо за початок осі X точку В₁, де знаходиться центр ваги гирі при її статичній рівновазі, і направляємо вісь х по вертикалі вниз (рис. 1.) Позначимо через _ст подовження пружини в положенні В₁, статичної рівноваги гирі, через Х переміщення гирі від цього положення. Тоді загальне положення пружини в довільному положенні. В гирі при її русі буде: _ст + х.

Оскільки сила пружності F пружини пропорційна її загальному подовженню, то величина цієї сили становитиме:

_ст.+ х)

де с - коефіцієнт пропорційності

Направлена сила пружності пружини завжди проти її деформації; тому при положенні гирі в точці В, коли X додатне, сила пружності спрямована вверх, а проекція її на вісь X буде від'ємною. На гирю діють сила ваги Р та сила F пружності пружини. Сума проекцій цих сил на вісь X дорівнює Р-F. Таким чином, диференціальне рівняння руху гирі по осі X буде:

тх = Р - F або тх = Р – с( _ст + х).

Враховуючи, що в положенні статичної рівноваги гирі Р = с _ст, одержимо рівняння в такому вигляді:

х + х = 0 або х + к² х= 0, де = .

Розв'язання рівняння (1) відоме:

х = С₁ coskt + С₂ sinkt. (2)

Сталі інтегрування С₁ і С₂ знайдемо з початкових умов руху.

При t = 0 координата Х₀ = _ст; швидкість Х₀ = 0.

Для того, щоб використати ці умови, знаходимо також загальний вираз швидкості:

(3)

Підставляючи початкові дані в рівняння (2) та (3) знайдемо:

С₁ = X ₀ = - _ст., С₂ = X₀ = 0.

Таким чином, при розв'язанні диференційного рівняння (1) остаточно буде:

,

де ;

Амплітуду коливань знаходимо за формулою:

Період коливань

При розгляді даної теми необхідно використовувати посібник: В.В. Цасюк Теоретична механіка. –Львів: Афіша, 2003. Стор 234 – 253.

Теоретичні відомості

Дата добавления: 2014-11-29