Малюнок № 7.14

А b Д С

Малюнок № 7.13.

С В

Нехай АВС (мал. №19) – прямокутний трикутник (ÐАСВ=90°), де m_е(АС)=а і m_е(СВ)=b. Добудуємо його до прямокутника, провівши через вершини А і В прямі, паралельні відповідно сторонам СВ і АС. Одержимо прямокутник АДВС, площа якого відповідно до попередньої теореми дорівнюватиме а×b. Оскільки DАДВ=DАВС, то 2S(DАВС)=S(АДВC). Отже, S(DАВС)=¹/₂S(АДВC)=¹/₂а×b. Теорему доведено.

Теорема 5: Площу будь-якого трикутника можна обчислювати за формулами: 1) S=¹/₂аh, де а – довжина основи, h – довжина висоти, опущеної на сторону а; 2) S=¹/₂аbsing, де а і b – довжини суміжних сторін трикутника, g - величина кута між цими сторонами; 3) S=Ö(p(p-a)(p-b)(p-c)), де а, b і с – довжини сторін трикутника, p=¹/₂(а+b+c).

Доведення:

Розглянемо трикутник АВС (див. мал. № 7.14.). Опустимо з вершини В висоту на сторону АС. Трикутник АВС розіб’ється на два прямокутних трикутника АВД і ВСД. Відповідно до аксіом площі S(DАВC)=S(DАВД)+S(DВСД).

В

c а

Відповідно до попередньої теореми S(DАВД)=¹/₂АД×ВД, S(DВСД)=¹/₂СД×ВД. Тоді S(DАВС)= ¹/₂АД×ВД+¹/₂СД×ВД=¹/₂(АД+СД)×ВД=¹/₂СА×ВД. Якщо позначити сторону трикутника через а і висоту – через h, то матимемо S_D=¹/₂а×h. Першу формулу виведено.

Для виведення другої формули введемо такі позначення: АВ=с, ВС=а, АС=b, ÐВАС=a, ÐАВС=b і ÐВСА=g. Із трикутника А ВД маємо: ВД:АВ=sina. Враховуючи наші позначення, маємо: S(DАВС)=¹/₂АС×ВД=¹/₂bсsina. Другу формулу виведено.

Для виведення третьої формули пригадаємо відому із шкільного курсу математики теорему косинусів: c²=a²+b²-2abcosg. Звідси маємо: cosg=(a²+b²-c²):2ab. Для виведення формули Герона скористаємося формулою S_D=¹/₂аbsing. Із шкільного курсу математики відомо, що sin²g=1-cos²g. Звідси: sin²g=1-cos²g=(1-cosg)(1+cosg)=(1-((a²+b²-c²):2ab))(1+((a²+b²-c²):2ab))=((2ab-a²-b²+c²):2ab)((2ab+a²+b²-c²):2ab). Оскільки 2ab-a²-b²=-(a²-2ab+b²)=-(a-b)² і 2ab+a²+b²=(a+b)², то дужки матимуть вигляд: ((с²-(a-b)²):2ab)(((a+b)²-с²):2ab)=¹/₄а²b²(с-а+b)(с+а-b)(а+b+с)(а+b-с)=¹/₄а²b²(а+b+с)(а+b-с)(а+с-b)(b+с-а). Якщо позначити а+b+с=2p, то а+b-с=2р-2с, а+с-b=2р-2b і b+с-а=2р-2а. Отже, маємо sin²g=2р2(р-а)2(р-b)2(р-с)/¹/₄а²b². Звідси sing=4/2аbÖ(р(р-а)(р-b)(р-с)). Таким чином, S=¹/₂²/_аbаbÖ(р(р-а)(р-b)(р-с))=Ö(р(р-а)(р-b)(р-с)), де р=¹/₂(а+b+c). Третю формулу виведено.

Теорема 6: площа паралелограма обчислюється за формулами: 1) S=ah, де а – довжина сторони, h – довжина висоти, опущеної на цю сторону; 2) S=absina, де а і b – довжини суміжних сторін паралелограма, a - кут між цими сторонами; 3) S=¹/₂d₁d₂sing, де d₁ і d₂ – діагоналі паралелограма, g - кут між діагоналями.

Доведення:

Для виведення першої формули проведемо діагональ ВД і висоту ВК (див. мал. № 7.15.). Діагональ ВД поділяє паралелограм АВСД на два рівних трикутника (DАВД=DВСД). Тоді S(АВСД)=S(DАВД)+S(DВСД)=2S(DАВД). Оскільки S(DАВД)=¹/₂АД×ВК, то S(АВСД)=2×¹/₂АД×ВК=АД×ВК. Позначивши АД=а, ВК=h, маємо S(АВСД)=а×h.

В С

а

А К b Д

Дата добавления: 2014-12-07