Малюнок № 7.16

Малюнок № 7.15.

Для виведення другої формули врахуємо, що S(АВСД)=S(DАВД)+S(DВСД)=2S(DАВД), АВ=а, АД=b і ÐВАД=a. Знайдемо ВК із DАВК. ВК:АВ=sina. Оскільки S(DАВД)=¹/₂АД×ВК=¹/₂АД×АВsina, то S(АВСД)=а×bsina. Другу формулу також виведено.

Для виведення третьої формули проведемо у паралелограмі АВСД діагоналі АС=d₁, ВД=d₂ і позначимо ÐАОВ=g. Тоді ÐАОД=180°-g. S(АВСД)=2S(DАВД)=2S(DВОА)+2S(DАОД)=2¹/₂ВОАОsing+2¹/₂АООДsin(180°-g)=АО(ВОsing+ОДsin(180°-g)). Оскільки sin(180°-g)=sing, то S(АВСД)=АО(ВО+ОД)sing=АОВДsing=¹/₂АСВДsing. Врахувавши, що ВД=d₂ і АС=d₁, матимемо: S(АВСД)= ¹/₂АСВДsing=¹/₂d₁d₂. Теорему доведено повністю.

Теорема 7: Площа трапеції дорівнює добутку висоти на півсуму основ або обчислюється за формулами: 1) S=¹/₂(a+b)h, де a і b – основи трапеції, h – висота трапеції; 2) S=mh, де m=¹/₂(а+b). – середня ліній трапеції, h – висота трапеції.

Доведення:

Проведемо у трапеції АВСД (див. мал. № 7.16.) діагональ ВД і висоту ВК. Тоді S(АВСД)=S(DАВД)+S(DВСД)=¹/₂АД×ВК+¹/₂ВС×ВК=¹/₂ВК×(АД+ВС)= ½(а+b)×h=m×h. Теорему доведено.

В а С

А К b Д

У практичній діяльності та в математиці доводиться досить часто знаходити не лише площі плоских фігур, але й площі поверхонь геометричних тіл. Нагадаємо, площею поверхні многогранника називають суму площ усіх його граней. Із шкільного курсу геометрії відомі наступні теореми та формули для їх знаходження:

1) площа бічної поверхні довільної призми дорівнює добутку периметра перпендикулярного перерізу призми на її бічне ребро;

2) площа повної поверхні довільної призми дорівнює сумі її бічної поверхні та площ основ;

3) площа бічної поверхні прямої призми дорівнює добутку периметра її основи на довжину бічного ребра;

4) площа бічної поверхні правильної піраміди дорівнює половині добутку периметра її основи на довжину апофеми;

5) площа повної поверхні правильної піраміди дорівнює сумі площі її бічної поверхні та площі основи;

6) площа бічної поверхні циліндра дорівнює добутку довжини кола його основи на висоту, тобто S_б.ц.=2pRH;

7) площа повної поверхні циліндра дорівнює сумі її бічної поверхні та площ його основ, тобто S_п.ц.=2pRH+2pR²=2pR(H+R);

8) площа бічної поверхні конуса дорівнює половині добутку довжини кола його основи на довжину твірної, тобто S_б.к.=pRl;

9) площа повної поверхні конуса дорівнює сумі площі його бічної поверхні та площі його основи, тобто S_п.к.=pRl+pR²=pR(l+R);

10) площа поверхні кулі дорівнює почетвереній площі її великого круга, тобто S_кулі=4pR²;

Дата добавления: 2014-12-07