Полученное равенство связывают углы поворота контактирующих тел

Пример

Вектор скорости лежит в плоскости, перпендикулярной оси вращения и направлен по касательной к описываемой точкой окружности в направлении вращения.

Так как угловая скорость ω для всех точек тела имеет в данный момент одно и то же значение, то скорости точек вращающегося твердого тела пропорциональны радиусам вращения. Поле скоростей точек вращающегося твердого тела имеет вид, показанный на рис.2

Груз Р, привязанный к нити, намотанной на колесо радиуса r, опускается равно-ускоренно без начальной скорости, приводя во вращение колесо.

За первые t секунды груз Р опустился на расстояние, равное h метрам.

Найти угловое ускорение колеса, а также полное ускорение точек на ободе колеса.

Решение. Обозначая ускорение, с которым груз Р опускается, через а, можем написать, что .

Касательное ускорение точек, лежащих на ободе колеса, очевидно равно ускорению а, следовательно, .

Таким образом, колесо будет вращаться равно – ускоренно с угловым ускорением, равным: 1/сек².

Так как колесо вращается без начальной скорости, то угловая скорость равна

1/сек.

Нормальное ускорение точек, лежащих на ободе колеса, равно

.

Следовательно, полное ускорение равно м/сек²,

.

3. Передача вращательного движения от одного тела к другому осуществляется непосредственным контактом (зубчатые и фрикционные зацепления см. рис.6 и рис.7) или при помощи ременной передачи (рис.8).

При внешнем зацеплении (рис. 6) и скрещивающейся ременной передаче (рис.9) вращение колес противоположно по направлению, при внутреннем зацеплении (рис. 7) и нескрещивающейся ременной передаче (рис.8) направления вращения колес совпадают.

При отсутствии проскальзывания пути, проходимые за одинаковый промежуток времени точками, расположенными на ободах сцепленных колес для всех видов сцепления, равны:

S₁ = S₂.

,

где φ₁ и φ₂ - углы, на которые опираются дуги окружностей контактирующих тел.

.

Скорости точек, лежащих на соединенных ободах обоих тел для всех видов сцепления равны:

,

.

Угловые скорости тел, находящихся в зацеплении, обратно пропорциональны их радиусам.

.

4. Ускорения точек вращающегося тела.

Ускорение точки, движущейся по криволинейной окружности, раскладывается на нормальную и касательную составляющие:

.

Эти составляющие вычисляются по формулам, определяемым естественным способом задания:

Подставим в эти формулы значение скорости точки , учитывая, что ρ = h, получим:

Окончательно касательное и нормальное ускорения определяются по формулам:

Касательное ускорение (рис.1) направлено перпендикулярно радиусу вращения и совпадает с вектором скорости, если вращение тела является ускоренным; касательное ускорение противоположно вектору скорости при замедленном вращении.

Нормальное ускорение всегда направлено по радиусу к центру вращения.

Модуль полного ускорения точки М (рис. 10):

.

Вектор полного ускорения образует с радиусом h угол μ, определяемый соотношением (рис.3):

В данный момент времени значения ε и ω для всех точек одинаковы, следовательно, угол μ также одинаков для всех точек, а модули ускорений точек пропорциональны радиусам вращения. Поле ускорений показано на рис. 11.

Пример:

Кривошип О₁О₂ вращается вокруг оси О₁ с угловой скоростью . На палец О₂ кривошипа свободно насажена шестерня радиуса r₂ находящаяся в зацепление (зацепление внутреннее) с неподвижным колесом радиуса r₃. Найти абсолютную угловую скорость Ω шестерни и её угловую скорость относительно кривошипа.

Решение. Колесо II участвуют в двух вращательных движениях: оно вращается с угловой скоростью относительно кривошипа O₁O₂ и вращается вместе с кривошипом относительно оси O₁. В результате сложения этих двух вращений колесо II будет вращаться с угловой скоростью Ω относительно новой оси. Легко сообразить, что эта ось пройдет через точку С, где в данный момент соприкасается колесо II с неподвижным колесом III, так как скорость этой точки в данный момент равна нулю, и она является мгновенным центром скоростей для колеса II. Следовательно: .

Напишем скорость точки О₂. Если рассматривать эту точку как принадлежащую кривошипу, то ,

если же эту точку рассматривать как принадлежащую колесу II, то .

Таким образом, .

Абсолютная угловая скорость вращения колеса II будет равна

.

Угловая скорость колеса II относительно кривошипа О₁О₂ равна

5*. Векторные формулы

Угловую скорость можно представить в виде вектора .

Вектор угловой скорости направлен по оси вращения в ту сторону, откуда вращение тела видно против часовой стрелки (рис.5), а его модуль равен .

Угловое ускорение тела также можно представить в виде вектора

.

Направление вектора углового ускорения совпадает с направлением вектора угловой скорости, если тело вращается ускоренно (рис.12), и эти векторы противоположны по направлению, если вращение тела – замедленное.

Вектор скорости точки вращающегося тела равен векторному произведению вектора угловой скорости тела на радиус – вектор, проведенный из любой точки, взятой на оси вращения, в данную точку.

Дата добавления: 2014-12-07