КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Ранг и дефект линейного оператора
Для доказательства основной теоремы этого параграфа потребуется понятие прямой суммы подпространств. Пусть и – два подпространства линейного пространства . Их суммой называется множество всех векторов , где и , т.е. Легко проверить, что также будет подпространством L. Сумма называется прямой, если из того, что , где и следует, что и . Определим также и пересечение двух подпространств которое также будет подпространством . Именно и ТЕОРЕМА (о прямых суммах подпространств). Сумма подпространств и будет прямой тогда и только тогда, когда . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть – прямая сумма подпространств и , но есть вектор такой, что Тогда, так как также является подпространством, то , и получается, что нулевой вектор можно представить двумя различными способами . Таким образом, приходим к противоречию определения прямой суммы. Обратно, пусть , но сумма не прямая. Значит найдется и такие, что , но Так как и , то содержит ненулевой вектор Опять приходим к противоречию. □ ТЕОРЕМА (о размерности суммы двух подпространств). Размерность суммы двух подпространств пространства равна сумме их размерностей минус размерность их пересечения. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть и – подпространства, и их размерности, а размерность их пересечения. Рассмотрим некоторый базис , скажем , и дополним его до базисов и пространств и . Докажем, что система , (3) состоящая из векторов является базисом подпространства , тем самым будет доказана и теорема. Ясно, что любой вектор и , а значит и вектор линейно выражается через векторы системы (3), т.к. содержит базисы и . Осталось проверить, что система (3) линейно независима. Предположим, что (4) Пусть Понятно, что . Но . (5) Правая часть этого равенства есть вектор из , т.е. . Окончательно, . Значит в выражении (5) отсутствуют члены с т.е. . Отсюда и из (4) заключаем, что . Так как система является базисом , то она линейно независима и поэтому □ Если сумма прямая, то размерность по теореме о прямых суммах равна 0, и поэтому получаем СЛЕДСТВИЕ. Размерность прямой суммы двух подпространств равна сумме их размерностей. □ Пусть линейный оператор и Нетрудно проверить, что и подпространства , называемые областью значений и ядром линейного оператора . Размерность называется рангом, а размерность дефектом . ТЕОРЕМА (о ранге и дефекте). Сумма ранга и дефекта линейного оператора φ равна размерности пространства . ДОКАЗАТНЛЬСТВО. Пусть и ранг и дефект . Выберем в базис и обозначим через векторы такие, что Они линейно независимы, т.к. из равенства следует, что а поскольку линейно независимы, то Обозначим через подпространство, порожденное векторами Они образуют базис и поэтому размерность подпространства равна . По предыдущему следствию достаточно теперь доказать, что является прямой суммой и . покажем, что Любой вектор имеет вид Если , то , т.е. . Но векторы линейно независимы и поэтому , откуда . Покажем теперь, что . Возьмем вектор . Но и поэтому Пусть и . Так как , то . Следовательно . Имеем , где и , что и требовалось доказать. □
Дата добавления: 2014-11-29; Просмотров: 1493; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |