![]() КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Ранг матриц
Наивысший порядок минора матрицы, неравного нулю, называется минорным рангом матрицы. Будем смотреть на столбцы, впрочем, как и на строки, матрицы (а) (б) Их можно объединить в одно: для любых Универсальным способом получения подпространств является следующий: надо взять произвольное множество ТЕОРЕМА (о ранге матриц). Ранг матрицы по столбцам равен ее минорному рангу. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если в матрице любые Обратно, пусть минорный ранг матрицы Здесь
Заметим, что Это равенство справедливо при любом Итак, первые Так как при транспонировании матрицы ее минорный ранг не меняется, то получаем: СЛЕДСТВИЕ 5. Ранг матрицы по строкам равен ее рангу по столбцам. □ СЛЕДСТВИЕ 6. Квадратная матрица является невырожденной тогда и только тогда, когда ее строки (столбцы) образуют линейно независимую систему строк (столбцов). □ Доказательство теоремы о ранге дает и метод вычисления ранга матрицы. Именно, найдя минор Она дает также и способ нахождения максимальной линейно независимой системы строк (столбцов) матрицы. Именно, это будут те строки (столбцы), в которых лежит минор наивысшего порядка, не равный нулю. Пример 1. Найти ранг матрицы
Решение. Минор второго порядка, стоящий в левом верхнем углу этой матрицы отличен от нуля. Минор третьего порядка окаймляющий т. е. ранг матрицы
Назовём элементарными следующие преобразования матриц: - перестановка строк (столбцов); - домножение строки (столбца) на число, отличное от нуля; - добавление к одной строке (столбцу) другой строки (столбца), умноженной на некоторое число; - вычёркивание нулевой строки (столбца). УТВЕРЖДЕНИЕ 1. Элементарные преобразования не меняют ранга матрицы. □ УТВЕРЖДЕНИЕ 2. Система из линейно независима. □ В заключении укажем ещё один алгоритм нахождения ранга матриц, основанный на утв. 1, 2: с помощью элементарных преобразований приведём матрицу к ступенчатому виду; количество её строк и будет рангом матрицы.
Пример 2. Найти ранг матрицы
Решение. Домножим первую строку матрицы на (-2), (-3), (-1) и прибавим, соответственно, ко второй, третьей и четвёртой строкам, получим Теперь домножим вторую строку матрицы на (-1) и прибавим к третьей и четвёртой строкам. Вычеркнув нулевую строку, получим матрицу ступенчатого вида, у которой три строки. Т. е. ранг матрицы равен трём.
Дата добавления: 2014-11-29; Просмотров: 644; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |