КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Арифметическое линейное пространство
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ I. Вычислить выражения: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. Вычислить определители: 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45. 46. 47. 48. 49.
Доказать, что система имеет единственное решение, и найти его методом Крамера: 50. 51. 52. 53. 54. 55. 56. 57.
58. Определить, при каких значениях a и b система
1) имеет единственное решение; 2) не имеет решений; 3) имеет бесконечно много решений. Найти обратные матрицы для следующих матриц: 59. 60. 61. 62. 63. 64. 65. 66. 67. 68. 69. 70. Решить матричные уравнения: 71. 72. 73. 74. 75. 76. 77. Рассмотрим множество всех (строк из элементов) действительных чисел . Введем на этом множестве умножение числа на и сложение так: Ниже будем называть векторами, и обозначать латинскими буквами возможно с нижними индексами. Исключение составит нулевой вектор . Числа из будем обозначать греческими буквами Множество , вместе со сложением векторов и умножение числа на вектор образуют арифметическое линейное пространство или - мерным векторным пространством. Непосредственно из определения следуют такие свойства сложения векторов в : Умножение числа на вектор обладает следующими свойствами: Из этих свойств следует, что в сумме нескольких векторов не обязательно расставлять скобки (свойство 1) и она не зависит от порядка следования слагаемых (свойство 4). В сумме векторов можно приводить подобные члены, т.е. , а также в равенстве двух сумм переносить вектор из одной части в другую с противоположным знаком.
Справедливы также следующие два утверждения: (1) . Действительно, . (2) . Действительно, . Вектор вида называется линейной комбинацией векторов (с коэффициентами ). Говорят, что система векторов является линейно независимой, если для любых чисел равенство влечет, что . В противном случае система векторов называться линейно зависимой. Равносильно, система векторов линейно зависима, если найдутся числа , не все из которых равны , но . Равенство можно выразить словами: линейная комбинация векторов с коэффициентами равна нулевому вектору. ЛЕММА 1 (о линейно зависимых системах). Система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда один из них линейно выражается через предыдущие (тем более, через оставшиеся). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть , но не все числа равны , а - наибольший из индексов таких, что . Тогда , откуда Обратно, пусть . Тогда и видно, что в этой линейной комбинации векторов , которая равна нулевому вектору, коэффициент при не равен нулю. □ Система векторов называется системой порождающих (или образующих) линейного пространства , если любой вектор из равен подходящей их линейной комбинации. ЛЕММА 2 (о порождающих). Если система порождающих линейно зависима, то из неё можно удалить подходящий вектор такой, что оставшаяся система векторов также будет системой порождающих. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если система порождающих линейно зависима, то по лемме 1 в ней найдётся некоторый вектор , который выражается через : (1) Так как для всякого найдутся числа такие, что . (2) Подставляя в равенство (2) вместо его выражение из (1), раскрывая скобки и приводя подобные слагаемые, убедимся в справедливости утверждения леммы. □ Линейно независимая система порождающих называется базисом . Нетрудно понять, что следующая система векторов будет базисом в : Действительно, она линейно независима, т. к. никакой вектор в ней не может быть выражен через предыдущие. С другой стороны, вектор имеет вид и тогда
. Аналогично, для любого в существует базис из векторов, называемых единичными: ТЕОРЕМА (о базисах). Любые два базиса линейного пространства состоят из одного итого же числа векторов. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.Пусть даны два базиса линейного пространства и , причем . Рассмотрим систему . Она линейно зависима по лемме 1, т.к. выражается через , но разумеется также является системой порождающих. По лемме 2 из нее можно вычеркнуть некоторый вектор, выражающийся через предыдущие, получив систему порождающих (3) Рассмотрим систему порождающих (4) которая линейно зависима, т.к. выражается через систему (3). По лемме 2 из нее можно вычеркнуть некоторый вектор, линейно выражающийся через предыдущие, получив систему порождающих При этом вектор (и ) не будет вычеркнут, т.к. в системе никакой вектор не выражается через предыдущие. Затем, рассматриваем систему порождающих и продолжаем аналогичную процедуру. Т.к. , то в конце концов получим систему порождающих (5) причем . Следовательно, вектор линейно выражается через систему векторов (5), что противоречит линейной независимости □ СЛЕДСТВИЕ 1. В пространстве любые два базиса состоят из n векторов. □ СЛЕДСТВИЕ2. Любая линейно независимая система векторов дополняема до базиса. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Припишем к линейно независимой системе векторов справа векторы , составляющие базис, получив систему . Теперь начнем из этой системы вычёркивать, пока это возможно, векторы, линейно выражающиеся через предыдущие. По лемме 1 векторы вида вычеркнуты быть не могут, а по лемме 2 оставшаяся система будет и системой порождающих. □ СЛЕДСТВИЕ3. Каждая система порождающих содержит базис. Доказательство аналогично предыдущему. □ СЛЕДСТВИЕ4. В мерном линейном пространстве любые векторов образуют линейно зависимую систему. Доказательство следует из следствия 1 и теоремы о базисах. □ Линейно независимая система векторов называется максимальной, если при добавлении к ней еще одного вектора она становится линейно зависимой. Поэтому базис можно определить как максимальную линейно независимую систему векторов.
Дата добавления: 2014-11-29; Просмотров: 1375; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |