КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Введение. В данном разделе рассматриваются некоторые вопросы методики прогнозирования деятельности структур, сущность основных понятий в области прогнозирования
В данном разделе рассматриваются некоторые вопросы методики прогнозирования деятельности структур, сущность основных понятий в области прогнозирования, анализ методов прогнозирования. После изучения данного раздела рекомендуется ответить на вопросы для самопроверки и на вопросы теста 3. В случае если ответы на какие-либо вопросы вызовут затруднение или неуверенность, рекомендуется прочитать учебное пособие Голик, Е.С. Теория и методы статистического прогнозирования: учебное пособие /Е.С. Голик, О.В. Афанасьева. – СПб.: Изд-во СЗТУ, 2007. – 182 с. (с.79 – 94). Часто на практике приходится иметь дело с задачей прогнозирования случайных величин, и это является предпосылкой применения вероятностных моделей. Вероятностные модели позволяют вычислить вероятность того, что будущее значение параметра прогнозируемого процесса будет меньше определенного числа, например, вероятность того, что . Величина y может находиться в пределах , так как в соответствии с рис. 4.1 и Рис. 1. Функция распределения вероятностей
Показанная на рисунке кривая распределения непрерывной случайной величины y является графиком функции распределения . Функция распределения существует как для непрерывных, так и для дискретных случайных величин и является универсальной характеристикой случайных величин. Зная функцию распределения, можно найти вероятность попадания случайной величины на заданный участок : . Для непрерывных случайных величин очень часто рассматривается производная функции распределения или плотность распределения непрерывной случайной величины y. Вероятность попадания случайной величины y на некоторый участок . Таким образом, прогнозирование вероятности того или иного события может быть осуществлено при прогнозировании рассмотренных функций распределения. Причем во многих практических случаях нет необходимости характеризовать случайную величину полностью, а бывает достаточно спрогнозировать только некоторые параметры распределения (например, математическое ожидание и дисперсию). В некоторых случаях полученные в результате наблюдений за прогнозируемым процессом данные могут быть описаны широко известными распределениями непрерывных и дискретных случайных величин, среди которых: нормальное распределение, равномерное распределение, экспоненциальное распределение, распределение Пуассона и некоторые другие. Если вид и параметры названных распределений не меняются по времени и в распоряжении имеется достаточное по объему количество наблюдений, то решение задачи прогнозирования не вызывает особых затруднений. Строится эмпирическое распределение, решается вопрос о выборе для данного эмпирического распределения теоретической кривой распределения и по ней с требуемой точностью производится прогнозирование. Однако на практике, как правило, в распоряжении исследователя имеется ограниченная информация о процессе, и, кроме того, не всегда можно гарантировать неизменность вида и параметров распределения. Эти условия предопределяют применение более сложных вероятностных моделей, базирующихся на последних достижениях теории вероятностей. К таким наиболее интенсивно разрабатываемым областям теории вероятностей относится, в частности. Теория малых выборок и теория суммирования случайного числа независимых случайных величин. § 1. Приложение теории суммирования случайного числа Постановка задачи. В результате анализа объекта прогнозирования и прогнозного фона на периоде ретроспекции (периоде основания прогноза) установлено, что процесс развития системы может быть представлен ступенчатым процессом (последовательностью скачков, совершаемых в случайные моменты времени). Величина скачка (рис. 2) является случайной величиной, поведение которой описывается законом распределения . Число скачков n на периоде упреждения прогноза является случайным, распределенным по закону . Требуется определить функцию распределения выходного параметра системы y.
Рис. 2. Постановка задачи
Решение. Традиционным (основным) аналитическим аппаратом теории вероятностей и математической статистики является аппарат характеристических функций. Известно, что если – действительная случайная величина, то существует комплексная случайная величина (где – мнимая единица, t – действительное число). Функция вида , где E – символ математического ожидания, называется характеристической функцией случайной величины , то есть характеристическая функция случайной величины есть математическое ожидание комплексной случайной величины . Характеристическая функция безразмерна, а параметр t имеет размерность, обратную размерности случайной величины . Используем основные свойства характеристических функций для решения задачи, из условия решения которой известно, что выходной параметр системы y зависит как от случайного числа скачков n на периоде упреждения, так и от случайной величины каждого скачка. При этом случайные величины независимы, одинаково распределены и не зависят от случайной величины n. Примем, что число скачков на периоде упреждения прогноза может быть определено законом Пуассона , с параметром , причем для распределения Пуассона справедливо соотношение . Случайная же величина y (величина скачка) имеет стандартное нормальное распределение с параметрами , и плотностью вероятности . Таким образом, чтобы получить закон распределения выходного параметра, необходимо рассмотреть распределение суммы пуассоновского числа стандартных нормальных величин. На основании мультипликативного свойства характеристической функции – характеристическая функция суммы независимых случайных величин равна произведению характеристических функций случайных величин, то есть, если , то , можно записать, что интегральная функция распределения суммы случайного числа n случайных величин определяется характеристической функцией , где – характеристическая функция случайной величины . Рассмотрим характеристическую функцию стандартного нормального распределения Так как интеграл , то . Отсюда характеристическая функция суммы пуассоновского числа стандартных нормальных величин имеет вид . Для определенности случай из рассмотрения исключим. Тогда . Исходя из формулы обращения ; , тогда . В результате интегрирования получим искомую плотность распределения . В табл.6.1. приведем формулы для характеристических функций, наиболее часто встречающихся при решении практических задач. Решим поставленную задачу при условии, что величина скачка равномерно распределена на интервале . Такое допущение о законе распределения скачка представляется целесообразным для коротких динамических рядов. Симметричность интервала не снижает общности рассуждений. Характеристическая функция для функции распределения суммы случайного числа случайных величин , распределенных равномерно на интервале , . Таблица 1. Характеристические функции
В соответствии с формулой обращения запишем формулу для плотности распределения . Изменяя порядок суммирования и интегрирования и учитывая, что симметричные законы распределения в характеристической функции не имеют членов, содержащих мнимую единицу, плотность распределения представим в виде . Используя табличный интеграл вида , находим плотность распределения выходной величины: , при , где и , при , . В табл. 2 приведены выражения для плотностей распределения выходной координаты при других условиях решениях поставленной задачи.
Таблица 2. Расчетные соотношения для плотности распределения величины Y
Необходимо помнить, что если и , а , то для математического ожидания суммы случайного числа случайных слагаемых справедлива так называемая формула Вальда . Дисперсия суммы может быть определена через второй момент , откуда . Рассмотрим еще один подход, при котором теоретическая вероятностная модель сочетается с экстраполяционной моделью на ЭВМ. Этот подход применяется тогда, когда вероятностную модель трудно составить из-за больших неопределенностей или модель трудно исследовать из-за ее сложности. При использовании этого метода неопределенности «реализуются» случайным образом путем использования процедуры Монте-Карло.
Дата добавления: 2014-12-07; Просмотров: 477; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |