Уравнения параболического типа при

Уравнения гиперболического типа при.

Обозначив общие интегралы системы уравнений (5) через вводим новые независимые переменные по формулам Тогда уравнение (4) примет вид - канонический вид уравнения гиперболического типа.

Общие интегралы системы уравнений (5) совпадают

Вводим новые независимые переменные по формулам где - функция, удовлетворяющая условию например,

Тогда уравнение (4) примет вид - канонический вид уравнения параболического типа.

Уравнения эллиптического типа при

Общие интегралы системы уравнений (5) .

Вводим новые независимые переменные по формулам

Тогда уравнение (4) примет вид - канонический вид уравнения эллиптического типа.

Пример 2. Определить тип уравнения и привести его к каноническому виду

Уравнение эллиптического типа. Уравнение характеристик

Подставляя полученные значения частотных производных в данное уравнение, получим

Ответ:

3. Краевая задача для однородного волнового уравнения.

Дано однородное волновое уравнение с начальными условиями и краевыми условиями

Данная задача может быть решена методом Фурье, согласно которому решение записывается в виде После подстановки в данное уравнение, получим уравнения для функций и .

Решая уравнение относительно функции с граничными условиями , получим

Решая уравнение относительно функции , получим

где - некоторые константы. В силу однородности уравнения, мжно полагать, что Следовательно, решение данного уравнения записывается в виде

Для нахождения констант воспользуемся начальными условиями

Тогда получим уравнения

Пример Решить краевую задачу для однородного волнового уравнения

Решение записывается в виде

где , т.к. , а , т.к. вычислим, воспользовавшись дважды интегрированием по частям

Ответ:

5. Краевая задача для однородного уравнения теплопроводности.

Дано уравнение и условия Согласно методу Фурье решение записывается в виде Подставляя его в данное уравнение, получим

Для функции имеем краевую задачу , решение которой имеет вид .

Для функции имеем уравнение решение которого имеет вид Следовательно, решение уравнения теплопроводности имеет вид

коэффициенты находим из начального условия т.е.

Пример 5. Решить краевую задачу для однородного уравнения теплопроводности

так как то

Ответ:

Дата добавления: 2014-12-07