Розв’язання типового варіанта

Завдання 9.

Вступ до математичного аналізу

В задачах варіантів 1 – 25 знайти границі, не використовуючи правило Лопіталя.

1. а) б) в) ;

г) д) ; е) .

2. а) б) в) г) д) е)

3. a) б) в) г) д) е) .

4. а) б) в)

г) д) е) .

5. а) б) в) г) д) е)

6. a) б) в) г) д) е)

7. а) б) в) г) д) е)

8. а) б) в)

г) д) е)

9. а) б) в)

г) д) е)

10. а) б) в) г) д) е) .

11. а) б) в) г) д) е) .

12. а) б) в) г) д) е)

13. а) б) в) г) д) е) .

14. а) б) в) г) д) е) .

15. а) б) в) г) д) е)

16. а) б) в) г) д) е) .

17. а) б) в) г) д) е) .

18. а) б) в) г) д) е)

19. а) б) в) г) д) е)

20. а) б) в) г) д) е)

21. а) б) в)

г) д) е)

22. а) б) в) г) д) е)

23. а) б) в) г) ; д) е)

24. а) б) в)

г) д) е) .

25. а) б) в) г) д) е) .

Завдання 10.

В задачах варіантів 1-25 дослідити задані функції на неперервність, знайти точки розриву і встановити характер точок розриву. Побудувати графіки.

1. а) б) .

2. а) б) .

3. а) б) .

4. а) б) .

5. а) б) .

6. а) б) .

7. а) б) .

8. а) б) .

9. а) б) .

10. а) б) .

11. а) б) .

12. а) б) .

13. а) б) .

14. а) б) .

15. а) б) .

16. а) б) .

17. а) б) .

18. а) б) .

19. а) б) .

20. а) б) .

21. а) б) .

22. а) б) .

23. а) б) .

24. а) б) .

25. а) б) .

1. Знайти границі:

a) ; b)

в) г)

д) е)

► а) Під знаком границі маємо дробово-раціональну функцію, знаменник якої при х = 3 (граничне значення аргументу) відмінний від нуля. Користуючись теоремою про границю частки і замінюючи аргумент х його граничним значенням, маємо

.

б) При х =1 знаменник дробу відмінний від нуля, чисельник дорівнює нулю. Отже, при чисельник є величиною нескінченно малою, а знаменник – змінна величина, що має кінцеву границю. Оскільки частка від ділення нескінченно малої величини на змінну величину, що має кінцеву границю, є також нескінченно малою величиною, то границею даного дробу є нуль.

Отже,

в) При х = – 2 знаменник дробу дорівнює нулю, а чисельник від-мінний від нуля. Отже, при знаменник є величина не скін-ченно мала, а чисельник – обмежена. Дана дріб є нескінченно вели-кою, умовно це позначається символом ¥. Таким чином,

.

г) При х =2 чисельник і знаменник дробу дорівнюють нулю. Отже, безпосередня підстановка граничного значення аргументу призводить до невизначеного виразу виду . Щоб розкрити невизначеність виду (відношення двох нескінченно малих величин), необхідно попередньо дріб спростити, розклавши на множники чисельник і знаменник та скоротивши дріб на (х – 2):

.

Слід відмітити, що аргумент х прямує до свого граничного значення 2, але не співпадає з ним. З цього приводу множник (х – 2) є відмінним від нуля при x ® 2.

д) При х ® ¥ маємо невизначений вираз виду . Щоб знайти

границю дробово-раціональної функції при , необхідно попередньо чисельник і знаменник даного дробу поділити на , де n – найвищий ступінь багаточленів Р (х) та Q (х). Поділивши чисельник і знаменник даного дробу на x ², застосовуючи основні теореми про границі та властивості нескінченно малих, маємо

.

е) Безпосередня підстановка граничного значення аргументу призводить до невизначеності виду . Щоб розкрити цю невизна-ченість, помножимо чисельник та знаменник дробу на добуток ().

Потім скоротимо дріб на множник (х – 2), що є відмінним від нуля при .

= .◄

2.Знайти границі:

a) б) в)

►а) Першою визначною границею зветься границя відношення синуса нескінченно малої дуги до самої дуги. Відомо, що ця границя дорівнює одиниці, тобто .

Нехай 3 х = у. Очевидно, що при і . Тоді

б) Відомо, що 1 – сos5 x = 2sin² . Отже,

.

в) Позначимо arctg2 x = y, тоді 2 x = tg y, очевидно, що при і ; використовуючи теореми про границі, маємо:

.◄

Дата добавления: 2014-11-29