Розв’язання типового варіанта. 1. Нехай А(– 4; – І; 2); В(І; 0; 2); С(– І; 4; 6); D(– 2; – 3; 8) – точки координати вершин піраміди АВСD

1. Нехай А (– 4; – І; 2); В (І; 0; 2); С (– І; 4; 6); D (– 2; – 3; 8) – точки координати вершин піраміди АВСD. Необхідно: І) записати розкладання векторів , , , за базисом , , і знайти довжини цих векторів; 2) знайти кут між векторами і ; 3) знайти проекцію вектора на вектор ; 4) знайти площу грані АВС; 5) Знайти об’єм піраміди АВСD.

►1) Відомо, що довільний вектор може бути розкладений за базисом , , таким чином:

де а_х, а_у, а_z – проекції вектора на координатні осі; , , – одиничні вектори, напрямки яких збігаються з додатними напрямками осей OX, OY, OZ.

Нехай маємо точки M ₁(x ₁, y ₁, z ₁) i M ₂(x ₂, y ₂, z ₂), тоді проекції вектора = на координатні вісі дорівнють:

a_x = x ₂ – x ₁; a_y = y ₂ – y ₁; a_z = z ₂ – z ₁

і вектор має вигляд

= (.

Отже, маємо

=

=

= .

Довжину вектора знаходимо за формулою

ç ç=

Маємо

ç ç= = ,

ç ç= =6,

ç ç= = .

2) Косинус кута між векторами

= і

визначимо за формулою

cos = ,

де – скалярний добуток векторів і .

Отже,

cos = .

Таким чином, шуканий кут дорівнює

.

3) Проекція вектора на вектор визначається за формулою:

₌

4) Площа грані АВС дорівнює половині площі паралелограма, побудованого на векторах і . Відомо, що модуль векторного добутку двох векторів дорівнює площі паралелограма, побудованого на цих векторах. Векторний добуток векторів і визначається за формулою:

= .

Позначимо векторний добуток × через вектор . Тоді площа грані АВС дорівнює половині модуля вектора , тобто

S_ABC= .

= × = або

Отже,

S_ABC= (кв.од.).

5) Об’єм паралелепіпеда, побудованого на трьох некомпланарних векторах , дорівнює модулю їх мішаного добутку:

= .

Отже, мішаний добуток векторів , , :

.

Шуканий об’єм V піраміди АВСD дорівнює одній шостій об’єму паралелепіпеда, тобто:

V= (куб.од.).◄

Дата добавления: 2014-11-29