Наука логики 16 страница

параллельных линий, так как развитие этого определения, для того чтобы оно

стало дефиницией, также потребовало бы [определений ], не непосредственно

принадлежащих пространственности, а более абстрактных качественных

определении (подобно тому как до этого потребовались такие определения, как

простота) - одинаковости направления и т. п. Эти древние [мыслители] и своим

наукам сообщили пластический характер, их изложение строго держалось

специфики их предмета и поэтому исключало из себя все, что было бы ему

чуждо.

Понятие, которое Кант выставил в своем учении об априорных синтетических

суждениях, - понятие о различенном, которое также нераздельно, о

тождественном, которое в самом себе есть нераздельное различие, -

принадлежит великому и бессмертному в его философии. В созерцании это

понятие, разумеется, также имеется, ибо оно само понятие, и все в себе есть

понятие; но те определения, которые выделены в приведенных примерах, не

выражают его; число и счет-это скорее такое тождество и продуцирование

такого тождества, которое безусловно есть лишь внешнее тождество, лишь

поверхностный синтез, единство "одних", таких "одних", которые скорее

положены как в сам"" себе не тождественные друг другу, а внешние, сами по

себе раздельные. В основе определения прямой линии, согласно которому она

кратчайшее расстояние между двумя точками, должен лежать скорее лишь момент

абстрактного тождества, лишенного различия в самом себе.

Я возвращаюсь от этого отступления к самому сложению. Соответствующее ему

отрицательное арифметическое действие, вычитание, есть также совершенно

аналитическое отделение чисел, которые, как и в сложении, определены лишь

как вообще неравные в отношении друг друга.

2. Ближайшее определение - равенство считываемых чисел. Благодаря этому

равенству числа эти суть единицы, и в числе появляется различие между

единицей и численностью. Умножение имеет задачей сложить численность единиц,

которые сами суть некая численность. При этом безразлично, какое из двух

чисел принимается за единицу и какое за численность, безразлично, говорим ли

мы четырежды три, где четыре есть численность, а три - единица, или,

наоборот, трижды четыре. - Мы уже указали выше, что сначала находят

произведение простым нумерованием, т. е. счетом на пальцах и т. д.; позднее

становится возможным непосредственно указать произведение благодаря своду

результатов подсчета - таблице умножения и знанию ее наизусть.

Деление есть отрицательное арифметическое действие, согласно тому же

определению различия. Здесь также безразлично, делитель ли или частное

принимается за единицу или за численность. Делитель принимается за единицу,

а частное - за численность, коща задачей деления объявляется желание узнать,

сколько раз (численность) одно число (единица) содержится в данном числе;

наоборот, делитель принимается за численность, а частное - за единицу, коща

говорят, что требуется разделить некоторое число на данную численность

одинаковых частей и найти величину такой части (единицы).

3. Оба числа, которые определены одно относительно другого как единица и

численность, как числа еще непосредственны относительно друг друга и потому

вообще не равны. Дальнейшее равенство - это равенство самой единицы и

численности; таким образом, продвижение к равенству определений,

заключающихся в определении числа, завершено. Счет согласно этому полному

равенству есть возведение в степень (отрицательное арифметическое действие

[здесь ] - извлечение корня) и прежде всего возведение числа в квадрат; это

полная определенность нумерования внутри самого себя, где 1) прибавляющиеся

многие числа суть одни и те же, и 2) само их множество или численность

тождественно тому числу, которое берется многократно и служит единицей. Нет

никаких иных определений в понятии числа, которые могли бы быть некоторым

различием, и не может также иметь место какое-либо дальнейшее выравнивание

различия, заключающегося в числе. Возведение в степени высшие, чем в

квадрат, есть формальное продолжение; с одной стороны, при четных

показателях, оно есть лишь повторение возведения в квадрат, а с другой - при

нечетных показателях - вновь возникает неравенство, а именно при формальном

равенстве (например, прежде всего в кубе) нового множителя и численности, и

единице, он как единица есть нечто неравное по отношению к численности (по

отношению ко второй степени, 3-по отношению к 3х3); еще большее неравенство

имеется при кубической степени четырех, где численность 3, показывающая,

сколько раз число, служащее единицей, должно быть помножено само на себя,

отлична от этого числа. - Эти определения имеются в себе как сущностное

различие понятия, - численность и единица, и для того чтобы

выхождение-вовне-себя целиком оказалось возвра-щением-внутрь-себя, они

должны быть выравнены. В только что изложенном заключается, далее,

основание, почему, с одной стороны, решение уравнений высших степеней должно

состоять в приведении их к квадратным уравнениям, и почему, с другой

стороны, уравнения нечетных степеней могут быть определены лишь формально, и

как раз, когда корни рациональны, они могут быть найдены не иначе как при

помощи мнимого выражения, противоположного корням и тому, чтб они выражают.

- Согласно сказанному, только арифметический квадрат содержит в себе

безусловную определенность (Schlechthin-Bestimintsein), вследствие чего

уравнения дальнейших формальных степеней должны быть приведены к нему; точно

так же как в геометрии прямоугольный треугольник содержит безусловную

внутри-себя-опре-деленность, выраженную в Пифагоровой теореме, и поэтому для

полного определения всех прочих геометрических фигур они должны быть сведены

к нему.

В преподавании, продвигающемся согласно логически построенному суждению,

изложение учения о степенях предшествует изложению учения о пропорциях;

последние, правда, примыкают к различию между единицей и численностью,

составляющему определение второго арифметического действия, однако они

выходят за пределы "одного" как непосредственного определенного количества,

в котором единица и численность суть лишь моменты;

дальнейшее определение по этим моментам остается для него самого также

еще внешним. В отношении число уже не есть непосредственное определенное

количество; последнее имеет в этом случае свою определенность как

опосредствование; количественное " отношение мы рассмотрим далее.

Об указанном выше дальнейшем определении арифметических действий можно

сказать, что оно не есть философствование о них, не есть, скажем,

разъяснение их внутреннего значения, потому что оно действительно не

имманентное развитие понятия. Философия же должна уметь различать то, чтб по

своей природе есть внешний самому себе материал, [должна знать], что в таком

материале развитие понятия может происходить лишь внешним образом и что

моменты этого развития могут существовать лишь в присущей им форме

внешности, каковы здесь равенство и неравенство. Различение сфер, к которым

принадлежит та или другая определенная форма понятия, т. е. имеющаяся как

существование, есть важное условие философствования о реальных предметах,

необходимое для того, чтобы мы, оперируя идеями, не нарушали особенности

внешнего и случайного и чтобы мы не искажали этих идей и не делали их

формальными из-за неадекватности материала. Но внешний характер, при котором

выявляются моменты понятия в указанном выше внешнем материале - в числе,

есть здесь адекватная форма; так как они представляют нам предмет в

рассудочном понимании его, а также ввиду того, что они не требуют никакого

спекулятивного подхода и потому кажутся легкими, их стоит применять в

элементарных учебниках.

Примечание 2 [Употребление числовых определений для выражения философских

понятий]

Как известно, Пифагор изображал в числах разумные отношения или

философемы, да и в новейшее время философия применяла числа и формы их

соотношений, как, например, степени и т. п., для упорядочения мыслей в

соответствии с ними или выражения ими мыслей. - С педагогической точки

зрения число признавалось наиболее подходящим предметом внутреннего

созерцания, а занятие вычислением его отношений - деятельностью духа, в

которой он делает наглядными свои подлинные отношения и вообще основные

отношения сущности. - В какой мере эта высокая ценность принадлежит числу,

видно из его понятия, каким оно получилось выше.

Число предстало перед нами как абсолютная определенность количества, а

его стихия - как различие, ставшее безразличным;. оно оказалось

определенностью в себе, которая в то же время положена лишь совершенно

внешне. Арифметика - аналитическая наука, так как все относящиеся к ее

предмету связи и различия не находятся в нем самом, а навязаны ему

совершенно извне. Она не имеет конкретного предмета, который содержал бы

внутренние отношения, которые первоначально скрыты для знания, не даны в

непосредственном представлении о нем,;i должны быть выявлены лишь усилиями

познавания. Она нс только не содержит понятия и, следовательно, задачи, для

постигающего в понятиях (fur das begreifende) мышления, но есть его

противоположность. Из-за безразличия приведенного в связь к самой этой

связи, которой недостает необходимости, мышление занимает здесь

деятельность, которая есть в то же время самое крайнее отчуждение

(Entausserung) от самого себя, занимается насильственной деятельностью, -

оно движется в сфере без-мыслия и приводит в связь то, чтб не способно быть

необходимым. Предметом [здесь ] служит абстрактна" мысль о самой внешности

(Ausserlichkeit).

Будучи такой мыслью о внешности, число есть в то же время абстракция от

чувственного многообразия; от чувственного оно сохранило только абстрактное

определение внешности; благодаря этому в числе чувственное ближе всего

подведено к мысли. Число есть чистая мысль о самоотчуждении мысли.

Возвышающийся над чувственным миром и познающий свою сущность дух, ища

стихию для своего чистого представления для выражения своей сущности, может

поэтому до того, как постигнет, что эта стихия есть сама мысль, и обретет

для ее изображения чисто духовное выражение, вздумать избрать для этого

число, эту внутреннюю, абстрактную внешность. Поэтому мы видим в истории

науки, что уже рано применяли число для выражения философем. Оно составляет

последнюю ступень несовершенства, когда всеобщее берется как обремененное

чувственным. Древние [мыслители] явно сознавали, что число находится

посередине между чувственным и мыслью. Согласно Аристотелю ("Метафизика", I,

5), Платон говорил, что помимо чувственного и идей посередине между ними

находятся математические определения вещей; от чувственного они отличаются

тем, что они невидимы (вечны) и неподвижны, а от идей - тем, что они суть

нечто.множественное и сходное, между тем как идея лишь всецело тождественна

с собой и внутренне едина. - Более подробное, основательно продуманное

рассуждение об этом Модерата из Кадиса " приводится в Malchi vita Pythagorae

ed. Ritterhus, p. 30 и ел.: то, что пифагорейцам пришла в голову мысль

обратиться к числам, он объясняет тем, что они еще не были в состоянии ясно

постигнуть разумом основные идеи и первые принципы, потому что трудно

мыслить и выразить эти принципы; при преподавании числа хорошо служат для

обозначения; пифагорейцы, между прочим, подражали в этом геометрам, которые,

не умея выражать телесное в мысли, применяют фигуры и говорят, что это -

треугольник, требуя, чтобы не принимали за треугольник предлежащий чертеж, а

лишь представляли себе с его помощью мысль о треугольнике. Так, например,

пифагорейцы выразили как единицу (Eins) мысль о единстве, тождественности и

равенстве, а также основание согласия, связи и сохранения всего, основание

тождественного с самим собой и т. д. - Излишне заметить, что пифагорейцы

перешли от выражения в числах и к выражению в мыслях, к определенно

названным категориям равного и неравного, границы и бесконечности; уже

относительно указанного выше выражения в числах сообщается (там же, в

примечаниях к стр. 31 цитированного издания, взятых из "Leben des

Pythagoras" bei Photius, p. 722), что пифагорейцы проводили различие между

монадой и единицей; монаду они принимали за мысль, а единицу - за число; и

точно так же число два они принимали за арифметическое выражение, а диаду

(ибо таково, видимо, то название, которое оно у них носит) - за мысль о

неопределенном. - Эти древние, во-первых, очень ясно видели

неудовлетворительность числовой формы для выражения определении мысли, и

столь же правильно они, далее, требовали найти подлинное выражение для мысли

вместо первого выражения, принятого за неимением лучшего; насколько

опередили они в своих размышлениях тех, кто в наше время снова считает

чем-то похвальным и даже основательным и глубоким замену определений мысли

самими числами и числовыми определениями, как, например, степенями, а затем

- бесконечно большим, бесконечно малым, единицей, деленной на бесконечность,

и прочими подобного рода определениями 87, которые сами часто представляют

собой превратный математический формализм, - считает основательным и

глубоким возвращение к упомянутому беспомощному детству.

Что касается приведенного выше выражения, что число занимает

промежуточное положение между чувственным и мыслью, имея в то же время то

общее с первым, что оно по своей природе (an ihr) "многое", внеположное, то

следует заметить, что само это "многое", принимаемое в мысль чувственное,

есть принадлежащая мысли категория внешнего в самом себе. Дальнейшие,

конкретные, истинные мысли - наиболее живое, наиболее подвижное, понятое

только как находящееся в соотнесении - превращаются в мертвенные,

неподвижные определения, когда их перемещают в эту стихию вовне-себя-бытия.

Чем богаче определенностью и, стало быть, соотношением становятся мысли,

тем, с одной стороны, более запутанным, а с другой - более произвольным и

лишенным смысла становится их изложение в таких формах, как числа. Единица,

два, три, четыре, генада или монада, диада, триада, тетрактис еще близки к

совершенно простым абстрактным понятиям; но когда числа должны переходить к

[изображению ] конкретных отношений, тогда тщетно стремление сохранить их

еще близкими к понятию.

Когда же для [характеристики] движения понятия (только благодаря этому

движению оно и есть понятие) обозначают определения мысли через одно, два,

три, четыре, этим предъявляется к мышлению самое жестокое требование.

Мышление движется тоща в стихии своей противоположности, отсутствия

соотношений. Его дело становится тогда работой безумия. Постигнуть,

например, что одно есть три, а три - одно, потому так трудно, что одно

лишено соотношений и, следовательно, не обнаруживает в самом себе того

определения, посредством которого оно переходит в свою противоположность, а,

напротив, состоит именно в полном исключении такого рода соотношения и

отказе от него. Рассудок, наоборот, пользуется этим против спекулятивной

истины (например, против истины учения, называемого учением о триединстве) и

перечисляет те ее определения, которые составляют одно единство, чтобы

представить ее как явную бессмыслицу, т. е. он сам впадает в бессмыслицу,

превращая в лишенное соотношений то, что всецело есть соотношение. Слово

"триединство" (Dreieinigkeit) употребляется, конечно, не в расчете на то,

что рассудок будет рассматривать единицу и число как сущностную

определенность содержания. Это слово выражает собой презрение к рассудку,

который в своем тщеславии, однако, упорно держится единицы и числа, как

такового, и выставляет это тщеславие как оружие против разума.

Принимать числа, геометрические фигуры просто за символы, как это часто

проделывали с кругом, треугольником и т. д. (круг, например, принимался за

символ вечности, треугольник - за символ триединства), есть с одной стороны,

нечто совершенно невинное; но нелепо, с другой стороны предполагать, что

этим выражают нечто большее, чем то, что мысль способна постигнуть и

выразить. Если в таких символах, как и в других, создаваемых фантазией в

народной мифологии и вообще в поэзии, в сравнении с которыми чуждые фантазии

геометрические фигуры к тому же убоги, - если в этих символах - глубокая

мудрость, глубокое значение, то как раз задача одного лишь мышления сделать

явной мудрость, которая в них лишь сокрыта (darin liegt), и не только в

символах, но и в природе и в духе. В символах истина из-за чувственного

элемента еще помутнена и прикрыта; она полностью обнаруживается сознанию

только в форме мысли; [их ] значением служит лишь сама мысль.

Но заимствование математических категорий с целью что-то определить для

метода или содержания философской науки потому оказывается по своему

существу чем-то превратным, что, поскольку математические формулы обозначают

мысли и различия понятия, это их значение скорее должно быть сначала

указано, определено и обосновано в философии. В своих конкретных науках

философия должна почерпать логическое из логики, а не из математики. Для

[выявления] логического в философии обращаться к тем формам (Gestaltungen),

которые это логическое принимает в других науках и из которых одни суть

только предчувствия, а другие даже искажения логического - это может быть

лишь крайним средством, к которому прибегает философское бессилие. Простое

применение таких заимствованных формул есть, кроме того, внешний способ

действия; самому применению должно было бы предшествовать осознание и их

ценности, и их значения; но такое осознание дается лишь рассмотрением с

помощью мысли, а не авторитетом, который эти формулы приобрели в математике.

Сама логика есть такое осознание их, и это осознание сбрасывает их частную

форму, делает ее излишней и никчемной, исправляет ее, и исключительно лишь

оно дает им обоснование, смысл и ценность.

Какое значение имеет пользование числом и счетом, поскольку оно должно

составлять главную педагогическую основу, это из предшествующего само собой

ясно. Число - нечувственный предмет, и занятие им и его сочетаниями -

нечувственное занятие;

дух, следовательно, этим приучается к рефлексии в себя и к внутренней

абстрактной работе, что имеет большое, но все же одностороннее значение.

Ибо, с другой стороны, так как в основе числа лежит лишь внешнее, чуждое

мысли различие, то указанная работа становится безмысленной, механической.

Требуемое ею напряжение состоит главным образом в том, чтобы удержать то,

что чуждо понятия, и комбинировать его, не прибегая к понятию. Содержанием

здесь служит пустое "одно"; подлинное содержание нравственной и духовной

жизни и индивидуальных ее форм, которое, как благороднейшая пища, должно

служить средством воспитания юношеского духа, вытесняется бессодержательным

"одним". Результатом этих упражнений, когда их делают главным делом и

основным занятием, может быть только то, что дух по форме и содержанию

опустошается и притупляется. Так как счет есть столь внешнее, стало быть,

механическое занятие, то, оказалось возможным приобрести машины,

совершеннейшим образом выполняющие арифметические действия. Если бы о

природе счета было известно хотя бы только одно это обстоятельство, то одним

этим был бы решен вопрос, какова ценность мысли сделать счет главным

средством воспитания духа и этим подвергать его пытке - усовершенствовать

себя до такой степени, чтобы стать машиной.

В. ЭКСТЕНСИВНОЕ И ИНТЕНСИВНОЕ ОПРЕДЕЛЕННОЕ КОЛИЧЕСТВО (EXTENSIVES UND

INTENSIVES QUANTUM)

а) Различие между ними

1. Определенное количество, как явствует из предыдущего, имеет свою

определенность как границу в численности. Оно есть некое внутри себя

дискретное, некое "многое", не имеющее такого бытия, которое было бы отлично

от его границы и имело бы ее вовне себя. Определенное количество, взятое

таким образом со своей границей, которая есть некое множественное в самой

себе, есть экстенсивная величина.

Следует отличать экстенсивную величину от непрерывной. Первой

непосредственно противоположна не дискретная, а интенсивная величина.

Экстенсивная и интенсивная величины суть определенности самой количественной

границы, определенное же количество тождественно со своей границей.

Непрерывная же и дискретная величины суть определения величины в себе, т. е.

количества, как такового, поскольку, имея дело с определенным количеством,

отвлекаются от границы. - Экстенсивная величина имеет момент непрерывности в

самой себе и в своей границе, так как ее "многое" есть вообще непрерывное;

постольку граница как отрицание выступает в этом равенстве "многих" как

ограничение единства. Непрерывная величина есть продолжающее себя количество

безотносительно к какой бы то ни было границе, и, поскольку ее представляют

себе с такой границей, последняя есть ограничение вообще, а котором

дискретность не положена. Определенное количество, взятое лишь как

непрерывная величина, определено для себя еще не истинно, так как в ней

отсутствуют "одно", в котором заключается для-себя-опре-деленность, и число.

И точно так же дискретная величина есть непосредственно лишь различенное

"многое" вообще, которое, поскольку оно, как таковое, должно было бы иметь

границу, было бы только множеством, т. е. чем-то неопределенно ограниченным;

чтобы оно было определенным квантом, для этого требуется сочетание "многих"

воедино, благодаря чему они полагаются тождественными с границей. Каждой - и

непрерывной, и дискретной - величиной как определенным количеством вообще

положена в ней лишь одна из двух сторон, которыми оно вполне определено и

благодаря которым оно дано как число. Число есть непосредственно

экстенсивное определенное количество, простая определенность, данная по

своему существу как численность, однако численность одной и той же единицы;

определенное количество отлично от числа лишь тем, что определенность в

числе явно положена как множественность.

2. Определить посредством числа, как велико нечто, можно, не устанавливая

отличия его от чего-то другого, обладающего величиной, иначе для

определенности его требовались бы оно само и нечто другое, обладающее

величиной; оно в этом не нуждается потому, что определенность величины есть

вообще для-себя-опре-деленная, безразличная, просто с собой соотнесенная

граница, а в числе она положена как заключенная в для-себя-сущее "одно", и

имеет внешность, соотношение-с-иным, внутри самой себя. Далее, это "присущее

самой границе "многое", как "многое" вообще, не есть нечто неравное внутри

себя, а есть нечто непрерывное. Каждое из "многих" есть то же самое, что

иное; поэтому оно как вне-друг-друга-сущее или дискретное "многое" не

составляет определенности, как таковой. Это "многое", стало быть, сливается

само по себе в свою непрерывность и становится простым единством. -

Численность есть лишь момент числа, но как множество числовых "одних" оно не

составляет определенности числа, а эти "одни" как безразличные, внешние себе

сняты в возвращенное(tm) числа в себя. Внешность, составлявшая "одни" во

множестве, исчезает в "одном" как соотношении числа с самим собой.

Граница определенного количества, которое как экстенсивное имело свою

налично сущую определенность в виде внешней самой себе численности,

переходит, следовательно, в простую определенность. В этом простом

определении границы оно интенсивная величина; и граница, или определенность,

которая тождественна с определенным количеством, теперь так и положена как

простое; это градус (der Grad).

Градус, следовательно, есть определенная величина, определенное

количество, но не есть вместе с тем множество (Menge) или много ["одних"]

внутри самого себя (Mehreres innerhalb seiner selbst); он только некая

многость (Mehrheit), причем многость есть "многое", введенное в простое

определение, наличное бытие, возвратившееся в для-себя-бытие. Его

определенность должна быть, правда, выражена некоторым числом (Zahl) как

полной определенностью определенного количества, но она дана не как

численность (Anzahl), а просто, только как градус. Когда говорят о десяти,

двадцати градусах, именно определенное количество, имеющее столько градусов,

есть десятый, двадцатый градус, а не численность и сумма этих градусов, - в

таком случае оно было бы экстенсивным количеством, - а оно лишь один градус:

десятый, двадцатый градус. Он содержит определенность, заключающуюся в

численности "десять", "двадцать", но не содержит их как "многие", а есть

число как снятая численность, как простая определенность.

3. В числе определенное количество положено в своей полной

определенности; а как интенсивное определенное количество (которое есть

для-себя-бытие числа) определенное количество положено таким, каково оно по

своему понятию, или в себе. А именно, та форма соотношения с собой, которую

оно имеет в градусе, есть в то же время его внешнее-себе-бытие. Число как

экстенсивное определенное количество есть числовая множественность и имеет

таким образом внешность внутри себя; эта последняя, как "многое" вообще,

сливается в неразличимость и снимает себя в числовом "одном" (in dem Eins

der Zahl), в соотношении числа с самим собой. Но определенное количество

имеет свою определенность в виде численности; оно, как было указано выше,

содержит ее, хотя она уже не положена в нем. Таким образом, градус, который,

как простой внутри самого себя, уже не имеет этого внешнего инобытия внутри

себя, имеет его вовне себя и соотносится с ним как со своей определенностью.

Внешняя ему множественность составляет определенность той простой границы,

которая он есть сам по себе. То, что численность, поскольку в экстенсивном

определенном количестве она должна была находиться внутри числа, сняла себя

там, - это определяется, следовательно, так, что она положена вне числа. Так

как число положено как "одно", как рефлектированное в себя соотношение с

самим собой, то оно исключает из себя безразличие и внешний характер

численности и есть соотношение с собой как соотношение через само себя с

чем-то внешним.

В градусе определенное количество имеет соответствующую своему понятию

реальность. Безразличие определенности составляет его качество, т. е.

определенность, которая в самой себе дана как внешняя себе определенность. -

Согласно этому градус есть простая определенность величины среди некоторого

множества таких интенсивностей, которые различны и каждая из которых есть

лишь простое соотношение с самим собой, но которые в то же время находятся в

сущностном соотношении друг с другом, так что каждая имеет свою

определенность в этой непрерывности с другими. Это соотношение градусов

через самих себя со своим иным делает восхождение и нисхождение по шкале

градусов непрерывным процессом, течением, которое есть непрерывающееся,

неделимое изменение. Каждое из многих, различаемых в этом [процессе], не

отделено от других, а имеет свою определенность (Bestimmtsein) только в них.

Как соотносящееся с собой определение величины каждый из градусов

безразличен к другим; но он в такой же мере и соотнесен в себе с этой

внешностью; то, что он есть, он есть только посредством нее;

Дата добавления: 2014-11-29