Наука логики 20 страница

состоянии быть. - Слово "бесконечное" также и в сочетании "бесконечный ряд"

обычно кажется мнению чем-то возвышенным и величественным; это некоторого

рода суеверие, суеверие рассудка. Мы видели, что оно сводится скорее к

определению недостаточности.

Можно еще заметить, что то, что имеются такие бесконечные ряды, которые

не суммируются, - это в отношении формы ряда вообще обстоятельство внешнее и

случайное. Ряды эти содержат более высокий вид бесконечности, чем

суммирующиеся ряды, а именно несоизмеримость, или, иначе говоря,

невозможность представить содержащееся в них количественное отношение как

определенное количество, хотя бы в виде дроби. Но свойственная им форма

ряда, как таковая, содержит то же самое определение дурной бесконечности,

какое присуще суммирующемся ряду.

Только что указанная на примере дроби и ее ряда превратность выражения

имеет место и тогда, когда математическое бесконечное - а именно не только

что названное, а истинное - называют относительным бесконечным, обычное же

метафизическое, под которым разумеют абстрактное, дурное бесконечное, -

абсолютным. На самом же деле это метафизическое бесконечное скорее лишь

относительно, ибо выражаемое им отрицание противоположно границе лишь в том

смысле, что граница остается существовать вне него и не снимается им;

математическое же бесконечное действительно сняло конечную границу внутри

себя, так как ее потустороннее соединено с ней.

Спиноза выставляет и поясняет примерами понятие истинной бесконечности в

противоположность дурной главным образом в том смысле, в котором мы

показали, что так называемая сумма или конечное выражение бесконечного ряда

следует рассматривать скорее как бесконечное выражение. Понятие истинной

бесконечности будет лучше всего освещено, если я рассмотрю сказанное им об

этом предмете непосредственно вслед за только что изложенными соображениями.

Спиноза определяет прежде всего бесконечное как абсолютное утверждение

существования какой-нибудь природы, а конечное, напротив, как

определенность, как отрицание. Абсолютное утверждение некоторого

существования следует понимать именно как его соотношение с самим собой,

означающее, что оно есть не потому, что другое есть; конечное же есть

отрицание, есть прекращение как соотношение с некоторым иным, начинающимся

вне его. Абсолютное утверждение некоторого существования, правда, не

исчерпывает понятия бесконечности; это понятие подразумевает, что

бесконечность есть утверждение не как непосредственное, а только как

восстановление через рефлексию иного в само себя, или, иначе говоря, как

отрицание отрицательного. Но у Спинозы субстанция и ее абсолютное единство

имеют форму неподвижного единства, т. е. не опосредствующего себя с самим

собой, - форму какой-то оцепенелости, в которой еще не находится понятие

отрицательного единства самости, субъективность.

В качестве математического примера для пояснения истинного бесконечного

(письмо XXIX) Спиноза приводит пространство между двумя неравными кругами,

один из которых находится внутри другого, не касаясь его, и которые не

концентричны. Этой фигуре и понятию, в качестве примера которого он ею

пользуется, он, по-видимому, придавал столь большое значение, что сделал ее

эпиграфом своей "Этики". - "Математики, - говорит он, - умозаключают, что

неравенства, возможные в таком пространстве, бесконечны не от бесконечного

множества частей, ибо величина этого пространства определена и ограничена, и

я могу предположить такое пространство большим или меньшим, а они делают

этот вывод на том основании, что природа этой вещи превосходит всякую

определенность" 10Э. - Как видим, Спиноза отвергает представление о

бесконечном как о множестве или как о незавершенном ряде и напоминает, что в

пространстве, приводимом им в качестве примера, бесконечное не находится по

ту сторону, а налично и полно; это пространство есть нечто ограниченное, но

именно потому бесконечное, "что природа вещи превосходит всякую

определенность", так как содержащееся в нем определение величины в то же

время не может быть представлено как определенное количество или, употребляя

приведенное выше выражение Канта, синтезирование не может быть завершено,

доведено до некоторого - дискретного - определенного количества. - Каким

образом противоположность между не-прерывным и дискретным определенным

количеством приводит к бесконечному, - это мы разъясним в одном из следующих

примечаний. - Бесконечное ряда Спиноза называет бесконечным воображения,

бесконечное же как соотношение с самим собой - бесконечным мышления или

infinitun actu [актуально бесконечным ]. Оно именно actu, действительно

бесконечно, так как оно внутри себя завершено и налично. Так, ряд

0,285714... или 1 + а + а+ 0s... есть лишь бесконечное воображения или

мнения, ибо он не обладает действительностью, ему безусловно чего-то

недостает. Напротив, - или есть в действительности не только то, что ряд

представляет собой в своих наличных членах, но к тому же еще и то, чего ему

недостает, чем он только должен быть, или есть такая же конечная величина,

заключенная между двумя кругами пространство и его неравенства в примере

Спинозы, и, подобно этому пространству, может быть увеличена или уменьшена.

Но отсюда не получается нелепость большего или меньшего бесконечного, ведь

это определенное количество целого не касается отношения его моментов,

природы вещи, т. е. качественного определения величины; то, что в

бесконечном ряде имеется налицо, есть также конечное определенное

количество, но кроме того еще нечто недостающее. Напротив, воображение не

идет дальше определенного количества, как такового, и не принимает во

внимание качественного соотношения, составляющего основу имеющейся

несоизмеримости.

Несоизмеримость, имеющая место в примере, приводимом Спинозой, заключает

в себе вообще криволинейные функции и приводит к тому бесконечному, которое

ввела математика при действиях с такими функциями и вообще при действиях с

функциями переменных величин; это бесконечное есть истинно математическое,

качественное бесконечное, которое мыслил себе и Спиноза. Это определение мы

должны здесь рассмотреть подробнее.

Что касается, во-первых, признаваемой столь важной категории

переменности, под которую подводятся соотносимые в этих функциях величины,

то они прежде всего переменны не в том 2 смысле, в каком в дроби - переменны

оба числа 2 и 7, поскольку вместо них можно поставить также 4и14,6и21ит.д.до

бесконечности без изменения значения дроби. В этом смысле

можно с еще большим правом в дроби, поставить вместо а и b любые числа,

не изменяя того, что должно выражать.. Лишь в том смысле, что и вместо л и

у в той или иной функции можно поставить бесконечное, т. е. неисчерпаемое

множество чисел, а и b суть такие же переменные величины, как и х и у.

Поэтому выражение переменные величины страдает неясностью и неудачно выбрано

для определений величин, интерес которых и способ действий над которыми

коренятся в чем-то совершенно другом, чем только в их переменности.

Чтобы выяснить, в чем заключается истинное определение тех моментов

функции, которыми занимается высший анализ, мы снова должны вкратце обозреть

отмеченные выше ступени.

В дробях числа 2 и 7, каждое само по себе, суть определенные кванты и

соотношение для них несущественно; а и b равным образом должны представлять

такие определенные количества, которые и вне отношения остаются тем, что они

есть. Далее, суть также постоянное определенное количество, некоторое

частное; отношение составляет некую численность, единицей которой служит

знаменатель, а численностью этих единиц - числитель, или наоборот. Если бы

мы подставили вместо 2 и 7 - 4 и 14ит.д.,то отношение осталось бы тем же

самым и как определенное количество. Но это в корне изменяется, например, в

функции -ё/"; здесь, правда, л и у имеют [и тот] смысл, что могут быть

определенными количествами; но определенное частное имеют не х и у, а лишь х

и у2. Поэтому указанные стороны отношения л и у, во-первых, не только не

определенные количества, но и, во-вторых, их отношение не постоянное

определенное количество (а также не имеется в виду такое определенное

количество, как это, например, имеет место при а и b), не постоянное

частное, а это частное как определенное количество совершенно переменно. Но

это следует только из того, что х находится в отношении не к у, а к квадрату

у. Отношение величины к степени есть не определенное количество, а

качественное по своему существу отношение. Степенное отношение есть то

обстоятельство, которое должно рассматриваться как основное определение. - В

функции же прямой линии у = ах есть обычная дробь и частное; эта функция

есть поэтому лишь формально функция переменных величин или, иначе говоря, х

и у здесь то же самое, что а и b в " они не имеют того определения,

сообразно с которым их рассматривает дифференциальное и интегральное

исчисление. - Ввиду особенной природы переменных величин в этом способе

рассмотрения было бы целесообразно ввести для них и особое название, и

обозначения, отличные от обычных обозначений неизвестных величин в каждом

конечном, определенном или неопределенном уравнении, - по причине их

существенного отличия от таких просто неизвестных величин, которые в себе

суть вполне определенные количества или определенная совокупность

определенных квантов. - И в самом деле, лишь отсутствие сознания особенности

того, что составляет интерес высшего анализа и чем вызваны потребность в

дифференциальном исчислении и изобретение его, само по себе привело к

включению функций первой степени, каково уравнение прямой линии, в состав

этого исчисления; вызван такой формализм ошибочным мнением, будто правильное

в себе требование обобщения какого-нибудь метода можно выполнить, опуская ту

специфическую определенность, на которую опирается потребность в этом

методе, так что считается, будто в рассматриваемой нами области дело вдет

только о переменных величинах вообще. От значительной доли формализма в

рассмотрении этих предметов и в их трактовке можно было бы, конечно,

избавиться, если бы поняли, что дифференциальное исчисление касается не

переменных величин, как таковых, а степенных определений.

Но имеется еще дальнейшая ступень, на которой математическое бесконечное

обнаруживает свою специфику. В уравнении, в котором х и у положены прежде

всего как определенные некоторым степенным отношением, х и у, как таковые,

должны еще означать определенные количества; и вот это значение совершенно

утрачивается в так называемых бесконечно малых разностях, dx, dy уже не

определенные количества и не должны иметь значение таковых, а имеют значение

лишь в своем соотношении, имеют смысл только как моменты. Они уже не нечто,

если принимать нечто за определенное количество, они не конечные разности;

но они и не ничто, не нуль, лишенный определения. Вне своего отношения они

чистые нули, но их следует брать только как моменты отношения, как

определения дифференциального коэффициента.-.

В этом понятии бесконечного определенное количество поистине завершено в

некоторое качественное наличное бытие; оно положено как действительно

бесконечное; оно снято не только как то или иное определенное количество, а

как определенное количество вообще. Но [при этом ] сохраняется

количественная определенность как элемент определенных количеств, как

принцип или, как еще говорили, она сохраняется в своем первом понятии.

Против этого понятия и направлены все те нападки, которым подверглось

основное данное математикой определение этого бесконечного -

дифференциального и интегрального исчисления. Неправильные представления

самих математиков привели к непризнанию этого понятия; но виновна в этих

нападках главным образом неспособность обосновать этот предмет как понятие.

Однако понятие, как было указано выше, математика не может здесь обойти, ибо

как математика бесконечного она не ограничивается рассмотрением конечной

определенности своих предметов (как, например, в чистой математике

пространство и число и их определения рассматриваются и соотносятся друг с

другом лишь со стороны их конечности), а приводит заимствованное оттуда и

трактуемое ею определение в тождество с его противоположностью, превращая,

например, кривую линию в прямую, круг - в многоугольник и т. д. Поэтому

действия, к которым она позволяет себе прибегать в дифференциальном и

интегральном исчислении, находятся в полном противоречии с природой чисто

конечных определений и их соотношений и, стало быть, могли бы найти свое

обоснование только в понятии.

Если математика бесконечного настаивала на том, что эти количественные

определения суть исчезающие величины, т. е. такие, которые уже не

определенные количества, но и не ничто, а сохраняют еще некоторую

определенность относительно другого, то [нападавшим на нее] казалось

совершенно ясным, что нет, как они выражались, никакого среднего состояния

между бытием и ничто. - Каково значение этого возражения и так называемого

среднего состояния, это уже было показано выше при рассмотрении категории

становления (примечание 4). Конечно, единство бытия и ничто не есть

состояние; состояние было бы таким определением бытия и ничто, в которое эти

моменты, так сказать, попали только случайно, как бы впав в болезнь или

подвергшись внешнему воздействию со стороны ошибочного мышления; скорее лишь

эта средина и это единство, исчезание, или, что то же, становление, и есть

их истина.

То, что бесконечно, говорили далее, не подлежит сравнению как большее или

меньшее; поэтому не может быть отношения бесконечного к бесконечному по

разрядам или рангам бесконечного, а между тем такие различия бесконечных

разностей встречаются в науке, трактующей о них. - Это уже упомянутое выше

возражение все еще исходит из представления, будто здесь идет речь об

определенных количествах, сравниваемых как определенные количества, и что

определения, которые уже не определенные количества, не имеют больше

никакого отношения друг к другу. В действительности же дело обстоит

наоборот: то, что только находится в отношении, не есть определенное

количество. Определенное количество есть такое определение, которое вне

своего отношения должно иметь совершенно безразличное [к другим] наличное

бытие и которому должно быть безразлично его отличие от иного, между тем как

качественное есть лишь то, что оно есть в своем отличии от иного. Поэтому

указанные бесконечные величины не только сравнимы, но существуют лишь как

моменты сравнения, отношения.

Я приведу важнейшие определения, которые были даны в математике

относительно этого бесконечного; тогда станет ясно, что они исходят из мысли

о самом предмете, согласующейся с развитым здесь понятием, но что их авторы

не исследовали этой мысли как понятие, и в применении они вынуждены были

прибегать к уловкам, противоречащим тому, чего они хотели добиться.

Эту мысль нельзя определить более правильно, чем это сделал Ньютон. Я

оставлю здесь в стороне определения, принадлежащие представлению о движении

и скорости (от которых он главным образом и заимствовал название флюксий),

так как в них мысль выступает не в надлежащей абстрактности, а конкретно,

смешанно с несущественными формами. Эти флюксии объясняются Ньютоном таким

образом (Princ. mathein. phil. nat. L. 1. Lemma XI. Schol.), что он понимает

под ними не неделимые - форма, которой пользовались до него математики

Кавальери и другие и которая содержит понятие определенного в себе кванта, -

а исчезающие делимые. Он понимает под ними, кроме того, не суммы и отношения

определенных частей, а пределы (limites) сумм и отношений. Против этого,

говорит Ньютон, выдвигают возражение, что у исчезающих величин не может быть

никакого

последнего отношения, так как прежде чем они исчезли, оно не последнее, а

когда они исчезли, нет уже никакого отношения. Но под отношением исчезающих

величин следует понимать не то отношение, которое имеет место до или после

их исчезновения, а то отношение, вместе с которым они исчезают (quacum

evanescunt). Точно так же и первое отношение возникающих величин есть

отношение, вместе с которым они возникают.

В соответствии с состоянием научного метода того времени давалось лишь

объяснение, что под таким-то термином следует понимать то-то. Но объяснение,

что под таким-то термином следует понимать то-то, есть, собственно говоря,

лишь субъективное предложение или же историческое требование, причем не

показывают, что такое понятие в себе и для себя необходимо и обладает

внутренней истинностью. Но из сказанного видно, что выставленное Ньютоном

понятие соответствует тому, чем оказалась в приведенном выше изложении

бесконечная величина на основании рефлексии определенного количества внутрь

себя. [Под флюксиями Ньютон ] понимает величины в их исчезновении, т. е.

величины, которые уже не определенные количества; он понимает под ними,

кроме того, не отношения определенных частей, а пределы отношения.

Следовательно, исчезают, согласно этому пониманию, и определенные количества

сами по себе, члены отношения, и само отношение, поскольку оно было

определенным количеством; предел отношения величин - это то, в чем оно есть

и не есть; это означает, точнее, что он есть то, в чем определенное

количество исчезло, и тем самым сохранились отношение только как

качественное отношение количества и его члены - также как качественные

моменты количества. - Ньютон к этому прибавляет, что из того обстоятельства,

что имеются последние отношения исчезающих величин, не следует заключать,

что имеются последние величины, неделимые. Это было бы опять-таки отходом от

абстрактного отношения к таким его членам, которые должны были бы сами по

себе, вне своего соотношения, иметь значение как неделимые, как нечто, что

было бы "одним", безотносительным.

Чтобы предостеречь против этого недоразумения, он, кроме того,

напоминает, что последние отношения - это не отношения последних величин, а

только пределы, к которым отношения беспредельно убывающих величин ближе,

чем всякое данное, т. е. конечное различие, за которые, однако, они не

выходят, чтобы не стать ничем. - Под последними величинами можно было бы,

как сказано, понимать именно неделимые, или "одни". Но из определения

последнего отношения устранено представление и о безразличном,

безотносительном "одном", и о конечном определенном количестве. - Но не

нужно было бы ни беспредельного убывания, которое Ньютон приписывает

определенному количеству и которое лишь служит выражением бесконечного

прогресса, ни определения делимости, которое уже не имеет здесь никакого

прямого значения, если бы требуемое определение было развито в понятие

такого определения величины, которое есть исключительно лишь момент

отношения.

Что касается сохранения отношения при исчезновении определенных

количеств, то мы встречаем (у других авторов, например у Карно, Reflexions

sur la metaphysique du calcul infinitesimal) выражение, что в силу закона

непрерывности исчезающие величины, прежде чем исчезнуть, еще сохраняют то

отношение, из которого они происходят. - Это представление выражает истинную

природу вещей, поскольку здесь подразумевается не непрерывность

определенного количества, которой оно обладает в бесконечном прогрессе,

непрерывность, выражающаяся в том, что определенное количество так

продолжает себя в своем исчезновении, что по ту сторону его снова возникает

лишь конечное определенное количество, новый член ряда. Однако непрерывное

движение вперед всегда представляют так, что проходят имеющие еще значение

конечные определенные количества. В совершающемся же переходе в истинное

бесконечное непрерывным оказывается отношение; оно настолько непрерывно и

сохраняется, что переход состоит скорее лишь в том, что он выделяет

отношение в чистом виде и приводит к исчезновению безотносительного

определения, т. е. что определенное количество, будучи стороной отношения,

есть определенное количество еще и тогда, когда оно положено вне этого

соотношения. - Такое очищение количественного отношения есть в этом смысле

не что иное, как постижение эмпирического наличного бытия через понятие

(begriffen wird). Этим эмпирическое наличное бытие настолько возвышается над

собой, что его понятие содержит те же определения, что оно само, но

схваченные в их сущности и выраженные в единстве понятия, в котором они

лишились своего безразличного, чуждого понятия существования (Bestehen).

Столь же интересна и другая форма, в какой Ньютон трактует разбираемые

нами величины, а именно трактовка их как производящих величин или начал.

Произведенная величина (genita) - это произведение или частное, корни,

прямоугольники, квадраты, а также стороны прямоугольников, квадратов, вообще

конечная величина. - "Рассматривая ее как переменную, как она возрастает или

убывает в постоянном движении и течении, я понимаю под названием моментов ее

мгновенные приращения или убывания. Но не следует принимать эти моменты за

частицы, имеющие определенную величину (particulae finitae). Такие частицы

суть не самые моменты, а величины, произведенные из моментов; под последними

следует понимать скорее находящиеся в становлении принципы, или начала,

конечных величин". Ньютон отличает здесь определенное количество от него же,

рассматривает, каково оно как продукт или налично сущее и каково оно в своем

становлении, в своем начале и принципе, т. е. каково оно в своем понятии или

- здесь это то же самое - в своем качественном определении; в качественном

определении количественные различия, бесконечные приращения или убывания

суть лишь моменты; только ставшее есть то, что перешло в беэразличие

наличного бытия и во внешность, - определенное количество. - Но если

философия истинного понятия [бесконечного] должна признать эти определения

бесконечного, приведенные относительно приращений или убывании, то сразу же

следует заметить, что самые формы приращения и т. д. находятся внутри

категории непосредственного определенного количества и указанного выше

непрерывного движения вперед и что представления о приращении, приросте,

умножении х на dx или г и т. д. должны рассматриваться скорее как основное

зло этих методов как постоянное препятствие к возвышению от представления об

обычном определенном количестве к чистому определению качественного момента

количества.

Против указанных определений очень отстало представление о бесконечно

малых величинах, связанное с [представлением о] самом приращении или

убывании. Согласно этому представлению, бесконечно малые величины таковы,

что можно пренебрегать не только ими самими при сравнении с конечными

величинами, но также их высшими разрядами при сравнении с низшими, а равно и

произведениями нескольких таких величин при сравнении с одной. - У Лейбница

особенно подчеркивается требование такого пренебрежения, которому отдали

дань и предшествующие изобретатели методов, касавшихся этих величин. Прежде

всего именно это пренебрежение придает указанному исчислению, несмотря на

то, что оно удобно, видимость неточности и явной неправильности способа его

действий. - Вольф старался объяснить это пренебрежение [величинами], следуя

своей манере делать общедоступными рассматриваемые им вопросы, т. е. лишать

понятие чистоты и подменять его неправильными чувственными представлениями.

А именно он сравнивает пренебрежение бесконечно малыми разностями высших

разрядов относительно низших с образом действия геометра, при котором

измерение высоты горы нисколько не делается менее точным, если ветер сдунет

песчинку с ее вершины или если не будет принята во внимание высота домов и

башен при вычислении лунных затмений (Element. mathes. univ. Tom I. El.

analys. math. P. II. C. I. S. schol.).

Если снисходительность здравого смысла дозволяет такую неточность, то все

геометры, напротив, отвергали такого рода представление. Сама собой

напрашивается мысль, что в математической науке идет речь вовсе не о такой

эмпирической точности и что математическое измерение посредством ли

вычислении или посредством геометрических построений и доказательств

совершенно отлично от измерения земли, от измерения эмпирических линий,

фигур и т. п. Да и помимо того, как уже было указано выше, аналитики,

сравнивая результаты, получаемые строго геометрическим путем, с

результатами, получаемыми методом бесконечно малых разностей, доказывают,

что они одинаковы и что большая или меньшая точность [здесь] вовсе не имеет

места. А ведь само собой разумеется, что абсолютно точный результат не мог

бы получиться при неточном способе действия. Однако, с другой стороны, сам

способ действия, несмотря на протесты против приведенных в оправдание

доводов, не может обойтись без пренебрежения [величиной ] на том основании,

что она незначительна. И в этом состоит трудность, побуждающая аналитиков

объяснить заключающуюся здесь бессмыслицу и устранить ее.

По этому вопросу следует прежде всего привести мнение Эйлера. Исходя из

общего определения Ньютона, он твердо убежден, что дифференциальное

исчисление рассматривает отношения приращений величины, но что бесконечно

малую разность, как таковую, следует рассматривать как нуль (Institut. calc.

different., р. I. с. III). - Как это надо понимать, видно из изложенного

выше; бесконечно малая разность есть нуль лишь как определенное количество,

а не качественный нуль; а как нуль по количеству она скорее чистый момент

лишь отношения. Она не различие на некоторую величину. Но именно поэтому, с

одной стороны, вообще ошибочно называть моменты, именуемые бесконечно малыми

величинами, также и приращениями или убываниями и разностями. Это

определение исходит из того, что к имеющейся сначала конечной величине

что-то прибавляется или что-то от нее отнимается, что производится некоторое

вычитание или сложение, некоторое арифметическое, внешнее действие. Но что

касается перехода от функции переменной величины к ее дифференциалу, то по

нему видно, что он совершенно другого характера, а именно, как уже было

разъяснено, он должен рассматриваться как сведение конечной функции к

качественному отношению ее количественных определений. - С другой стороны,

сразу бросается в глаза ошибочность утверждения, будто приращения сами по

себе - это нули и будто рассматриваются только их отношения; ведь нуль

вообще уже не имеет никакой определенности. Это представление, стало быть,

хотя и доходит до отрицательности определенного количества и определенно

выражает эту отрицательность, однако в то же время не схватывает ее в ее

положительном значении качественных определений количества, которые, если

хотят вырвать их из отношения и брать их как определенные количества,

окажутся лишь нулями. - Лагранж 109 (Theorie des fonct. analyt. Introd.)

замечает относительно представления о пределах или последних отношениях,

что, хотя и можно очень хорошо представить себе отношение двух величин, пока

они остаются конечными, это отношение не дает рассудку ясного и

определенного понятия, как только его члены становятся одновременно нулями.

- И в самом деле, рассудок должен выйти за пределы той чистой

отрицательности, что как определенные количества члены отношения суть нули,

и понять их положительно как качественные моменты. - А то, что Эйлер (в

указанном месте 84 и ел.) прибавляет еще относительно данного [им ]

Дата добавления: 2014-11-29