Наука логики 23 страница

действие, следовательно, находит применение в таких предметах, в которых

также имеется такое различие степенных определений. Если будем иметь в виду

пространственную определенность, то найдем, что она содержит те три

измерения, которые мы, чтобы отличить их от абстрактных различий высоты,

длины и ширины, можем обозначить как конкретные измерения, а именно линию,

поверхность и тотальное пространство; а поскольку они берутся в их

простейших формах и в соотношении с самоопределением и, стало быть, с

аналитическими измерениями, то мы получаем прямую линию, плоскостную

поверхность (и ее же как квадрат) и куб. Прямая линия имеет эмпирическое

определенное количество, но с плоскостью появляется то, чтб обладает

качеством, степеннбе определение; более детальные видоизменения, например

то, что это происходит уже и с плоскими кривыми, мы можем оставить без

рассмотрения, поскольку здесь дело идет прежде всего о различии лишь в общем

виде. Тем самым возникает также потребность переходить от более высокого

степенного определения к низшему

Видимость случайности, представляемая дифференциальным исчислением в

разном его применении, упростилась бы уже пониманием природы сфер применения

и специфической потребности и условия этого применения. Но в самих этих

сферах важно далее знать, между какими частями предметов математической

задачи имеет место такое отношение, которое специфически полагается

дифференциальным исчислением. Пока что мы сразу должны заметить, что при

этом нужно принимать во внимание двоякого рода отношения. Действие понижения

степени уравнения, рассматриваемое со стороны производных функций его

переменных величин, дает результат, который в самом себе поистине есть уже

не уравнение, а отношение. Это отношение составляет предмет собственно

дифференциального исчисления. Но именно поэтому, во-вторых, здесь имеется

также отношение самогб более высокого степеннбго определения

(первоначального уравнения) к низшему (производной функции). Это второе

отношение мы должны оставить пока без внимания; впоследствии оно окажется

предметом, характерным для интегрального исчисления.

Рассмотрим сначала первое отношение и для определения момента, в котором

заключается интерес действия (это определение должно быть заимствовано из

сферы так называемого применения), возьмем простейший пример кривых,

определяемых уравнением второй степени. Как известно, отношение координат в

степеннбм определении дано непосредственно уравнением. Следствиями основного

определения являются определения других связанных с координатами прямых

линий: касательной, подкасательной, нормали и т. п. Но уравнения между этими

линиями и координатами суть линейные уравнения; те целые, в качестве частей

которых определены указанные линии, - это прямоугольные треугольники,

составленные прямыми линиями. Переход от основного уравнения, содержащего

определение, к этим линейным уравнениям содержит указанный выше переход от

первоначальной функции, т. е. от той функции, которая есть уравнение к

производной функции, которая есть отношение и притом отношение между теми

или иными содержащимися в кривой линиями. Связь между отношением этих линий

и уравнением кривой и есть то, что требуется найти.

Небезынтересно отметить относительно истории [дифференциального

исчисления ], что первые открыватели умели указать найденное ими решение

лишь всецело эмпирически, не будучи в состоянии объяснить само действие,

оставшееся совершенно внешним. Я ограничиваюсь здесь указанием на Барроу,

учителя Ньютона. В своих Lect. opt. et geom., в которых он решает задачи

высшей геометрии по методу неделимых, отличающемуся прежде всего от того,

что составляет особенность дифференциального исчисления, он излагает также

свой метод определения касательных, "так как на этом настаивали его друзья"

(lect. X). Нужно прочесть у него самого, как он решает эту задачу, чтобы

составить надлежащее представление о том, каким образом этот метод дан как

совершенно внешнее правило - в том же стиле, как в учебниках арифметики

прежде излагалось тройное правило или, еще лучше, так называемая проба

арифметических действий девяткой. Он чертит те маленькие линии, которые

впоследствии были названы [бесконечно малыми] приращениями в

характеристическом треугольнике кривой, и затем в виде простого правила

предписывает отбросить как излишние те члены, которые в ходе развертывания

уравнения выступают как степени указанных приращений или как произведения

(etenim isti termini nihilum valebunt) 115, а также следует отбросить те

члены, которые содержат величины, определяемые лишь на основе

первоначального уравнения (последующее вычитание первоначального уравнения

из уравнения, составленного вместе с приращениями), и, наконец, заменить

приращение ординаты самой ординатой и приращение абсциссы - подкасательной.

Нельзя, если позволительно так выразиться, изложить способ более

школьно-педантически; последняя подстановка - это допущение

пропорциональности приращений ординаты и абсциссы ординате и

под-касательной, сделанное в обычном дифференциальном методе основой

определения касательной; в правиле Барроу это допущение выступает во всей

своей наивной наготе. Был найден простой способ определения подкасательной;

приемы Роберваля и ферма сводятся к чему-то сходному - метод нахождения

наибольших и наименьших значений, из которого исходил Ферма, покоится на тех

же основаниях и на том же образе действия. Математической страстью того

времени было находить так называемые методы, т. е. указанного рода правила,

и притом делать из них секрет, что было не только легко, но в некотором

отношении даже нужно, и нужно по той же причине, почему это было легко, а

именно потому, что изобретатели нашли лишь эмпирически внешнее правило, а не

метод, т. е. не то, чтб выведено из признанных принципов. Подобные так

называемые методы Лейбниц воспринял от своего времени; Ньютон также

воспринял их от своего времени, а непосредственно - от своего учителя;

обобщением их формы и их применимости они проложили новые пути в науках, но,

занимаясь этим, они чувствовали также потребность освободить образ действия

от формы чисто внешних правил и старались дать ему надлежащее обоснование.

Анализируя метод более подробно, мы увидим, что истинный ход действия в

нем таков. Во-первых, степенные определения (разумеется, переменных

величин), содержащиеся в уравнении, низводятся до их первых функций. Но этим

меняется значение членов уравнения. Поэтому уже нет уравнения, а возникло

лишь отношение между первой функцией одной переменной величины и первой

функцией другой. Вместо рх = у2 мы имеем р: 2у или вместо lax - х2 = у2

имеем а - х: у, что впоследствии стали dv обычно обозначать как отношение

x/y. Уравнение есть уравнение кривой, а это отношение, целиком зависящее от

него и производное (выше - согласно одному лишь правилу) от него, есть,

напротив, линейное отношение, которому пропорциональны определенные линии; р

: 2у или а - х: у сами суть отношения прямых линий кривой, а именно

отношения координат и параметра; но этим мы еще ничего не узнали. Мы хотим

знать о других встречающихся в кривой линиях, что им присуще указанное

отношение, хотим найти равенство двух отношений. - Следовательно, вопрос,

во-вторых, состоит в том, какие прямые линии, определяемые природой кривой,

находятся в таком отношении? - Но это то, что уже ранее было известно, а

именно, что такое полученное указанным путем отношение есть отношение

ординаты к подкасательной. Древние нашли это остроумным геометрическим

способом; изобретатели же нового времени открыли лишь эмпирический способ,

как придать уравнению кривой такой вид, чтобы получилось то первое

отношение, о котором уже было известно, что оно равно отношению, содержащему

ту линию (здесь - подкасательную), которая подлежит определению. Отчасти это

придание уравнению желаемого вида было задумано и проведено методически -

дифференцирование, - отчасти же были изобретены воображаемые приращения

координат и воображаемый, образованный из этих приращений и такого же

приращения касательной характеристический треугольник, дабы

пропорциональность отношения, найденного путем понижения степени уравнения,

вместе с отношением ординаты и подкасательной была представлена не как нечто

эмпирически взятое лишь из давно знакомого, а как нечто доказанное. Однако

это давно знакомое оказывается вообще (а наиболее очевидно в указанной выше

форме правил) единственным поводом и соответственно единственным основанием

для допущения характеристического треугольника и указанной

пропорциональности.

Лагранж отбросил это подобие доказательности (Simulation) и вступил на

подлинно научный путь; его методу мы обязаны тем, что усмотрели, в чем дело,

так как он состоит в том, чтобы отделить друг от друга те два перехода,

которые следует сделать для решения задачи, и рассматривать и доказывать

каждую из этих сторон отдельно. Одна часть этого решения - при более

подробном изложении хода действия мы продолжаем пользоваться как примером

элементарной задачей нахождения подкасательной - теоретическая или общая

часть, а именно нахождение первой функции из данного уравнения кривой,

регулируется особо; эта часть дает некоторое линейное отношение,

следовательно, отношение прямых линий, встречающихся в системе определения

кривой. Другая часть решения состоит в нахождении тех линий в кривой,

которые находятся в указанном отношении. Это теперь осуществляется прямым

путем (Theorie des fonct. anal., p. II, ch. II), т. е. не прибегая к

характеристическому треугольнику, а именно к бесконечно малым дугам,

ординатам и абсциссам, и не давая им определений ау и dx, т. е. членов

указанного отношения, а также не устанавливая в то же время непосредственно

значения равенства этого отношения с самими ординатой и под-касательной.

Линия (равно как и точка) имеет свое определение лишь постольку, поскольку

она составляет сторону некоторого треугольника, и определение точки также

имеется лишь в треугольнике. Это, скажем мимоходом, основное положение

аналитической геометрии, которое приводит к координатам, или, чтб то же

самое, в механике к параллелограмму сил, именно поэтому совершенно не

нуждающемуся в больших усилиях доказать его. - Подкасательная теперь

принимается за сторону треугольника, другие стороны которого составляют

ордината и соотносящаяся с ней касательная. Последняя как прямая линия имеет

своим уравнением р - aq (прибавление + Ь бесполезно для определения и

делается лишь ради излюбленной всеобщности); определение отношения p/q есть

а, коэффициент величины q, который есть соответственная первая функция

уравнения, но который должен вообще рассматриваться лишь как а = p/q, т.

е., как сказано, как сущностное определение прямой линии, применяемой как

касательная к данной кривой. Далее, поскольку берется первая функция

уравнения кривой, она также определение некоторой прямой линии; далее, так

как р, одна координата первой прямой линии, и у, ордината кривой,

отождествляются, стало быть, точка, в которой указанная первая прямая линия,

принимаемая как касательная, соприкасается с кривой, есть также начальная

точка прямой линии, определяемой первой функцией кривой, то все дело в том,

чтобы показать, что эта вторая прямая линия совпадает с первой, т. е. есть

касательная, или, выражаясь алгебраически, показать, что так как у = fх и р

= fq, а теперь принимается, что у=р, стало быть, fx=fQ,, то и f`x=F'Q. Что

употребляемая как касательная прямая и та прямая линия, которая определена

из уравнения его первой функцией, совпадают, что вторая прямая есть,

следовательно, касательная, - это показывается с помощью приращения i

абсциссы и приращения ординаты, определяемого разложением функции. Здесь,

стало быть, также появляется пресловутое приращение; однако способ, каким

оно вводится для только что указанной цели, и разложение функции по этому

приращению следует отличать от упомянутого выше пользования приращением для

нахождения дифференциального уравнения и для характеристического

треугольника. Способ, каким оно применяется здесь, правомерен и необходим;

он входит в круг геометрии, так как геометрическое определение касательной,

как таковой, требует, чтобы между ней и кривой, с которой она имеет одну

общую точку, не могло быть другой прямой линии, также проходящей через эту

-точку. Ибо с принятием этого определения качество касательной или

не-касательной сводится к различию по величине, и касательной оказывается та

линия, на которую единственно с точки зрения важного здесь определения

приходится большая малость. Эта на первый взгляд лишь относительная малость

не содержит в себе ничего эмпирического, т. е. ничего зависящего от

определенного количества, как такового; она качественно положена природой

формулы, если различие момента, от которого зависит сравниваемая величина,

есть различие в степени; так как последнее сводится к i и i2 и так как i,

которое ведь в конце концов должно означать некоторое число, следует

представлять затем как дробь, то i2 само по себе меньше, чем i, так что само

представление, что i можно приписывать любую величину, здесь излишне и даже

неуместно. Именно поэтому доказательство большей малости не имеет ничего

общего с бесконечно малым, для которого, стало быть, вообще здесь нет места.

Я хочу здесь еще сказать о Декартовом методе касательных, хотя бы только

ради его красоты и ради ныне скорее забытой, но вполне заслуженной его

славы; впрочем, он имеет отношение и к природе уравнений, о которой мы

должны будем затем сделать еще одно замечание. Декарт излагает этот

самостоятельный метод, в котором искомое линейное определение также находят

из той же производной функции, в своей оказавшейся и в других отношениях

столь плодотворной геометрии (Oeuvres compl. ed. Cousin, torn V, liv. II, p.

357 и ел.), развивая в ней учение о широкой основе природы уравнений и их

геометрического построения, а тем самым об основе анализа, в столь

значительной степени применяемого к геометрии вообще. Проблема получает у

него форму задачи - провести прямые линии перпендикулярно к любому месту

кривой, чем определяется подкасательная и т. д. Вполне понятно чувство

удовлетворения, выражаемого им по поводу своего открытия, которое касалось

предмета всеобщего научного интереса того времени и, будучи всецело

геометрическим, столь возвышалось над упомянутыми выше методами его

соперников, содержащими одни только правила: "J'ose dire que c'est ceci le

probleme le plus utile et le plus general, non seulement que je sache, mais

шете que j'aie jamais desire de savoir en geometric"117. - При решении этой

задачи он исходит из аналитического уравнения прямоугольного треугольника,

образуемого ординатой той точки кривой, к которой должна быть

перпендикулярна искомая прямая линия, затем ею же самой, нормалью, и,

в-третьих, поднормалью, т. е. той частью оси, которая отрезается ординатой и

нормалью. Из известного уравнения кривой в указанное уравнение треугольника

подставляется затем значение ординаты или абсциссы; таким образом получается

уравнение второй степени (и Декарт показывает, каким образом и те кривые,

уравнения которых содержат более высокие степени, сводятся к уравнению

второй степени), в котором встречается лишь одна из переменных величин и

притом в квадрате и в первой степени, - квадратное уравнение, которое

сначала предстает как так называемое нечистое уравнение. Затем Декарт

рассуждает таким образом, что если мы представим себе рассматриваемую точку

кривой точкой пересечения ее и круга, то этот круг пересечет кривую еще в

другой точке и тогда получится для двух возникающих благодаря этому и

неодинаковых х два уравнения с одинаковыми константами и одинаковой формы

или же одно уравнение с неодинаковыми значениями х. Но уравнение делается

одним уравнением лишь для одного треугольника, в котором гипотенуза

перпендикулярна к кривой, т. е. оказывается нормалью, что представляют себе

таким образом, будто обе точки пересечения кривой совпадают с кругом и,

следовательно, круг соприкасается с кривой. Но тем самым устраняется также и

неравенство корней х или у квадратного уравнения. В квадратном же уравнении

с двумя одинаковыми корнями коэффициент члена, содержащего неизвестные в

первой степени, вдвое больше одного лишь корня; это дает нам уравнение,

посредством которого мы находим искомые определения. Этот способ следует

признать гениальным приемом истинно аналитического ума - приемом, с которым

не может сравниться принимаемая всецело ассерторически пропорциональность

подкасательной и ординаты якобы бесконечно малым так называемым приращениям

абсциссы и ординаты.

Полученное этим путем конечное уравнение, в котором коэффициент второго

члена квадратного уравнения равен удвоенному корню или неизвестному, есть то

же уравнение, которое находят посредством приема, применяемого

дифференциальным исчислением. Уравнение x1 - ax - b=0 после его

дифференцирования дает новое уравнение 2х - а=0, а дифференцирование х3 - рх

- 9=0 дает Зх2 - р = 0. Но здесь напрашивается замечание, что отнюдь не само

собой разумеется, что подобное производное уравнение также и правильно. При

уравнении с двумя переменными величинами, которые оттого, что они

переменные, не теряют характера неизвестных величин, получается, как мы

видели выше, лишь некоторое отношение, по той указанной простой причине, что

подстановка функций возведения в степень вместо самих степеней изменяет

значение обоих членов уравнения, и само по себе еще неизвестно, имеет ли еще

место между ними уравнение при таких измененных dy значениях. Уравнение, -

= Р выражает лишь то, что Р есть dy отношение, и не надо приписывать -

никакого другого реального смысла. Но об этом отношении = Р также еще

неизвестно, какому другому отношению оно равно; лишь такое уравнение,

пропорциональность, сообщает ему значение и смысл. - Так же как (что было

указано выше) значение, именуемое применением, берется извне, эмпирически,

так и в тех выведенных путем дифференцирования уравнениях, о которых идет

речь, для того чтобы знать, верны ли еще полученные уравнения, должно быть

известно из какого-то другого источника, имеют ли они одинаковые корни. Но

на это обстоятельство в учебниках не дается определенных и ясных указаний;

оно устраняется тем, что уравнение с одним неизвестным [х], приведенное к

нулю, тотчас же приравнивается к у, благодаря чему при дифференцировании dy

получается, конечно, --, одно лишь отношение. Исчисление функций, конечно,

должно иметь дело с функциями возведения в степень, а дифференциальное

исчисление - с дифференциалами, но из этого само по себе вовсе еще не

следует, что величины, дифференциалы или функции возведения в степень

которых мы берем, сами также должны быть лишь функциями других величин. И

кроме того, в теоретической части, там, где указывается, как должны быть

выведены дифференциалы, т. е. функции возведения в степень, еще нет и мысли

о том, что величины, оперировать с которыми, согласно такому способу их

выведения, она учит, сами должны быть функциями других величин.

Относительно отбрасывания констант при дифференцировании можно еще

отметить, что это отбрасывание имеет здесь тот смысл, что константа

безразлична для определения корней в случае их равенства, каковое

определение исчерпывается коэффициентом второго члена уравнения. Так, в

приведенном Декартом примере константа есть квадрат самих корней,

следовательно, корень может быть определен как из константы, так и из

коэффициентов, поскольку вообще константа, как и коэффициенты, есть функция

корней уравнения. В обычном изложении устранение так называемых констант

(связанных с прочими членами лишь посредством знаков +- и -) достигается

простым механизмом способа действия, состоящего в том, что для нахождения

дифференциала сложного выражения приращение приписывается лишь переменным

величинам и образованное благодаря этому выражение вычитается из

первоначального. Смысл констант и их отбрасывания, вопрос, в какой мере они

сами функции и служат ли они функциями по этому определению или нет, не

подвергается обсуждению.

В связи с отбрасыванием констант можно сделать одно замечание

относительно названий дифференцирования и интегрирования, сходное с тем,

которое мы сделали раньше относительно выражений "конечное" и "бесконечное",

а именно, что в их определении содержится скорее противоположное тому, что

обозначает это выражение. Дифференцирование означает полагание разностей; но

дифференцированием, наоборот, уменьшается число измерений уравнения и в

результате отбрасывания константы устраняется один из моментов

определенности; как мы уже отметили, корни переменной величины

приравниваются, их разность, следовательно, снимается. Напротив, при

интегрировании следует снова присоединить константу; уравнение благодаря

этому несомненно интегрируется, но в том смысле, что ранее снятая разность

корней восстанавливается, положенное равным снова дифференцируется. -

Обычный способ выражения содействует тому, что остается в тени существенная

сторона дела и все сводится к подчиненной и даже чуждой сути дела точке

зрения отчасти бесконечно малой разности, приращения и т. п., отчасти же

одной лишь разности вообще между данной и производной функцией, не обозначая

их специфического, т. е. качественного, различия.

Другая главная область, в которой пользуются дифференциальным

исчислением, это механика; мимоходом мы уже коснулись значения различных

степенных функций, получающихся при элементарных уравнениях ее предмета,

движения; здесь я буду говорить о них непосредственно. Уравнение, а именно

математическое выражение просто равномерного движения с = - s/t или s = ct,

в котором пройденные пространства пропорциональны протекшим временам по

некоторой эмпирической единице с, величине скорости, не имеет смысла

дифференцировать; коэффициент с уже совершенно определен и известен, и здесь

не может иметь место никакое дальнейшее разложение в степенной рад. - Как

анализируется s = at2, уравнение падения тел, об этом мы уже упоминали выше;

первый член анализа ds/dt = 2at понимается и словесно, и, соответственно,

реально так, что он член некоторой суммы, (каковое представление мы уже

давно отклонили), одна часть движения, и притом та часть его, которая

приписывается силе инерции, т. е. просто равномерной скорости, таким

образом, будто в бесконечно малых частях времени движение равномерное, а в

конечных частях времени, т. е. в существующих на самом деле, -

неравномерное. Разумеется, /s = 2at, и значение а и t, взятых сами по себе,

известно, равно как известно и то, что тем самым положено определение

скорости равномерного движения:

Так как a=s/t2, то вообще 2at=2s/t, но этим мы нисколько не

подвинулись вперед в нашем знании; лишь ошибочное предположение, будто

2at есть часть движения как некоторой суммы, дает ложную видимость положения

физики. Самый множитель, а, эмпирическая единица - некоторое определенное

количество, как таковое, - приписывается тяготению; если здесь применяют

категорию силы тяготения, то нужно сказать, что, наоборот, как раз целое

s=at2 есть действие или, лучше сказать, закон тяготения. - Также верно и

выведенное из ds/dt=2at положение, что если бы прекратилось действие силы

тяжести, то тело со скоростью, достигнутой им в конце своего падения, прошло

бы во время, равное времени его падения, пространство вдвое большее

пройденного. - В этом положении заключается также и сама по себе превратная

метафизика: конец падения или конец той части времени, в которое падало

тело, всегда сам еще есть некоторая часть времени; если бы он не был частью

времени, то наступил бы покой, и, следовательно, не было бы никакой

скорости; скорость может быть измерена лишь по пространству, пройденному в

некоторую часть времени, а не в конце ее. Если же, кроме того, и в других

физических областях, где вовсе нет никакого движения, как, например, в

действии света (помимо того, что называют его распространением в

пространстве) и в определениях величин у цветов, применяют дифференциальное

исчисление, и первая [производная] функция некоторой квадратной функции

здесь

также именуется скоростью, то это следует рассматривать как еще более

неуместный формализм выдумывания существования.

Движение, изображаемое уравнением s = at2, говорит Лагранж, мы находим

при падении тел; простейшим следующим за ним было бы движение, уравнением

которого было бы s=ct3, но такого рода движения не оказывается в природе; мы

не знали бы, что мог бы означать собой коэффициент с. Если это верно, то,

напротив, имеется движение, уравнение которого - s3 ё at2 - кеплеровский

закон движения тел Солнечной системы. И выяснение того, что здесь должна

означать первая производная функция -у и т. д., а также дальнейшая

непосредственная разработка этого уравнения путем дифференцирования,

открытие законов и определений указанного абсолютного движения, отправляясь

от этой исходной точки, должно бы, конечно, представлять собой интересную

задачу, в решении которой анализ явил бы себя в самом надлежащем блеске.

Само по себе взятое таким образом применение дифференциального исчисления

к элементарным уравнениям движения не представляет никакого реального

интереса; формальный же интерес проистекает из общего механизма исчисления.

Но иное значение приобретает разложение движения в отношении определения его

траектории; если последняя есть кривая и ее уравнение содержит более высокие

степени, то требуются переходы от прямолинейных функций как функций

возведения в степень к самим степеням, а так как первые должны быть выведены

из первоначального уравнения движения, содержащего фактор времени с

элиминированием времени, то этот фактор должен быть также низведен к тем

низшим функциям, которые получаются в результате разложения в ряд и из

которых можно выводить указанные уравнения линейных определений. Эта сторона

возбуждает интерес к другой части дифференциального исчисления.

Сказанное доселе имело своей целью выделить и установить простое

специфическое определение дифференциального исчисления и показать это

определение на некоторых элементарных примерах. Это определение, как

оказалось, состоит в том, что из уравнения степенных функций находят

коэффициент члена разложения, так называемую первую [производную] функцию, и

что отношение, которое она есть, обнаруживают в моментах конкретного

предмета, и посредством полученного таким образом уравнения между обоими

отношениями определяются сами эти моменты. Следует немного рассмотреть и

принцип интегрального исчисления и установить, что получается из его

применения для специфического конкретного определения этого исчисления.

Понимание последнего было нами упрощено и определено более правильно уже

тем, что мы его больше не принимаем за метод суммирования, как его назвали в

противоположность дифференцированию (в котором приращение считается

сущностной составной частью), вследствие чего интегрирование представлялось

находящимся в сущностной связи с формой ряда. - Задача этого исчисления -

прежде всего такая же теоретическая или, скорее, формальная задача, как и

задача дифференциального исчисления, но, как известно, обратная последней.

Здесь исходят из функции, рассматриваемой как производная, как коэффициент

Дата добавления: 2014-11-29