Введение 5 страница

или окончательно:

(8.30)

Энергия T при ударе согласно закону сохранения энергии и подставим вместо в формулу (8.15) для определения коэффициента динамичности, т. е.

или

Учитывая, что и , а также, обозначая , формулу для определения коэффициента динамичности представим в виде

(8.31)

а максимальное напряжение в стержне, испытывающем удар,

или

Из последних формул видим, что если значение коэффициента (отношение веса ударяемого стержня к падающему грузу) не мало по сравнению с единицей, то энергия удара T меньше величины , т.е. учет массы стержня снижает расчетное напряжение при ударе.

8.4. Удар стержня о жесткую плиту

В некоторых случаях приходится определять напряжения в ударяющем теле, в частности, рассчитывая шток ковочного молота. При этом наиболее опасным для прочности штока является момент окончания ковки, когда проковываемое изделие почти не деформируется и вся энергия удара поглощается штоком. Схематически этот случай показан на рис. 8.8, где некоторый призматический стержень длиной l поперечного сечения A и веса Q падает с высоты H и ударяется о жесткую плиту A. Поскольку плита не деформируется, то весь запас кинетической энергии , накопленной падающим стержнем к моменту ударения, целиком перейдет в потенциальную энергию деформации падающего стержня.

Рис. 8.8. Удар призматического стержня о жесткую плиту

Так как характер сил инерции массовый (они действуют на каждую единицу объема), то при ударе стержня о плиту в каждом его сечении динамические напряжения по величине будут разными. В верхнем сечении они равны нулю, а в последующих (нижележащих) нарастают по линейному закону, достигая максимума у нижнего сечения. Динамическое напряжение в произвольном сечении x стержня (рис. 8.9) через максимальное напряжение в нижнем сечении может быть выражено так:

Рис. 8.9. Динамическое напряжение в произвольном сечении x стержня

Величина потенциальной энергии деформации под действием сил инерции в элементе стержня длиной dx на расстоянии x может быть выражена следующим образом:

Тогда энергия деформации всего стержня

(8.32)

Зная запас кинетической энергии падающего стержня, и пренебрегая потерями энергии на местное смятие при ударе, трение о среду, деформацию плиты и т. п., примем, что , откуда на основании формулы (8.32)

Максимальное напряжение при ударе

(8.33)

Учитывая, что , получим

(8.34)

Так как высота падения груза H может быть выражена через скорость в момент удара по известной формуле , то максимальное напряжение при ударе может быть выражено также формулой

Преобразовав формулу (16.33) иначе, получим

(8.35)

Из сопоставления формул (8.35) и (8.20), пренебрегая в последней членом , найдем, что динамические напряжения в ударяющем стержне будут такие, как будто он получил удар от другого стержня с кинетической энергией, в три раза большей по сравнению с энергией рассматриваемого стержня, падающего на жесткую плиту.

8.5. Напряжения при скручивающем ударе

В случае ударного кручения (рис. 8.10) можно из энергетического баланса вывести формулу для определения максимального напряжения, аналогичную той, которая была получена при продольном ударе:

(8.36)

где, как и прежде,

Здесь — перемещение точки соударения в направлении удара под действием статически приложенной силы Q.

Рис. 8.10. Скручивающий удар

Пренебрегая деформацией кривошипа и полагая, что вследствие малости перемещения проекция на вертикаль перемещения точки соударения равна длине дуги, можно вычислить по формуле

т.е.

(8.37)

где Q — вес падающего груза;

l — длина вала;

R — радиус кривошипа.

Если к кривошипу внезапно приложен крутящий момент, т. е. высота падения груза H=0, то коэффициент динамичности .

В машиностроении ударное кручение чаще всего вызывается не падением тех или иных грузов, а силами инерции масс при больших ускорениях последних. Это имеет место главным образом при торможении быстровращающихся валов, несущих маховики.

Определять напряжения и деформации стержней, находящихся под действием скручивающих ударных нагрузок, как и при растяжении или сжатии, целесообразно из рассмотрения потенциальной энергии деформации скручиваемого стержня.

Потенциальная энергия деформации стержня при скручивающем ударе может быть представлена в виде

где — динамический крутящий момент;

— соответствующий угол закручивания вала длиной l.

Вообще говоря, обычно не известен. Известна кинетическая энергия соответствующей массы маховика, вызывающей ударное кручение. Так, например, при резком торможении вала, несущего маховик на некотором расстоянии от места торможения, участок вала между тормозом и маховиком будет испытывать ударное кручение. При этом, зная начальный запас энергии маховика и конечный после его торможения, можно найти ту часть кинетической энергии , которая превращается в потенциальную энергию деформации вала. Определяя возникающие в этом случае напряжения, их выражают не через действующий при этом крутящий момент , а через энергию деформации или равную ей кинетическую энергию.

Так как

где — момент сопротивления для круглого вала:

то

Тогда потенциальная энергия деформации вала может быть выражена через максимальное напряжение формулой

где l — длина скручиваемого участка вала;

A — площадь его поперечного сечения.

Пренебрегая различными потерями энергии, можно принять, что

Тогда напряжение при ударном кручении может быть определено по формуле

(8.38)

где кинетическая энергия маховика

J — полярный момент инерции массы маховика;

Q — вес маховика.

Пример 8.5.Диск диаметром и весом , насаженный на вал AB длиной и диаметром (рис. 8.11), вращается с постоянной угловой скоростью, соответствующей . Определить величину наибольших касательных напряжений в валу в тот момент, когда конец A внезапно останавливается (крутящий удар). Массой вала пренебречь. Модуль сдвига .

Рис. 16.11. К примеру 16.5

Решение.

Для определения максимального напряжения при ударном кручении воспользуемся формулой (8.38):

где

Подставляя полученные значения в формулу для , найдем, что

Пример 8.6.Работающая на сжатие винтовая пружина изготовлена из стальной проволоки квадратного сечения . Средний диаметр витка пружины , число витков . Определить величину статической нагрузки, которая сожмет пружину на , предполагая, что, тот же груз падает на ненагруженную пружину с высоты , определить осадку пружины и наибольшее касательное напряжение при ударе. .

Решение.

Вес груза определим из выражения статической осадки пружины:

Имея в виду, что

осадку можно представить формулой

откуда определится вес груза Q:

При коэффициент .

Определим величину осадки пружины при динамическом приложении груза в случае падения его с высоты :

(8.39)

где

Подставляя значение и в формулу (16.39), найдем величину :

.

Определим максимальную величину динамических напряжений кручения в витке пружины:

где

Для квадратного сечения коэффициент . Тогда

а максимальное динамическое напряжение

8.6. Расчет на удар при изгибе

Рассматривая теорию удара, вызывающего изгиб, будем полагать, что, как и ранее, в процессе удара во всех его фазах движение конструкции происходит без потерь энергии на нагрев за счет трения о среду, на местные пластические деформации и т. п. Поэтому, определяя деформации и напряжения при изгибающем ударе, придем к формулам, аналогичным выражениям для ударного растяжения или сжатия. Применительно к случаю динамического изгиба указанные формулы соответственно примут вид

	(8.40)
	(8.41)
	(8.42)

где — статический прогиб в месте удара, зависящий от схемы нагружения и условий опирания.

Так, например, для балки с длиной пролета l, шарнирно закрепленной по концам и испытывающей посредине пролета удар от падающего с высоты H груза Q (рис. 16.12),

Рис. 8.12. Изгибающий удар

Для консоли, испытывающей удар от груза Q, падающего на ее свободный конец,

Подставляя значения в формулу для коэффициента динамичности (16.42), находим , а затем по формулам (8.41) и (8.4.0) находим динамические напряжения и деформации. Так, для балки на двух опорах динамические напряжения определятся по формуле

Обозначая (энергия ударяющего тела к моменту начала удара), последнюю формулу можно представить в виде

(8.43)

а условие прочности в этом случае запишется так:

где — запас прочности с учетом динамической нагрузки.

Сопротивление балки ударным нагрузкам зависит как от момента сопротивления, так и от ее изгибной жесткости. Чем больше податливость (деформируемость) балки, тем большую кинетическую энергию удара она может принять при тех же допускаемых напряжениях. Наибольший прогиб балки получится тогда, когда во всех ее сечениях наибольшие напряжения будут одинаковыми, т. е. если это будет балка равного сопротивления изгибу. Поэтому рессоры и делают в форме балок равного сопротивления.

Вычисляя напряжения при ударе, мы считали, что вся энергия удара переходит в потенциальную энергию деформации ударяемого тела. В действительности же некоторая ее часть расходуется на местные деформации, происходящие в зоне удара. При более или менее значительной массе ударяемого тела эта поправка может оказаться существенной.

В расчетах напряжений при ударе формула (8.41) не учитывалась также масса ударяемого тела, которая после прихода в соприкосновение с ударяющим телом приобретает определенные ускорения и тем самым влияет на возникающие в балке динамические напряжения. В некоторых случаях учет массы упругой системы, испытывающей удар, может оказаться также весьма существенным.

В качестве примера рассмотрим случай удара при изгибе (рис. 8.12). Пусть в момент удара груз Q имеет скорость , а балка неподвижна. В течение очень короткого промежутка времени все элементы балки приобретают некоторую скорость, а скорость груза тем временем несколько уменьшается.

Можно считать, что в этот период удара ось балки остается практически прямой, а уменьшение скорости груза происходит за счет местных деформаций как балки, так и самого груза. Этот период окончится тогда, когда скорость груза и приобретенная скорость балки сравняются и будут иметь одну и ту же величину . После этого начнется изгиб балки под действием груза Q, движущегося со скоростью вместе с получившим удар сечением балки, как бы прикрепленным к грузу.

В этот второй период удара, когда имеет место деформация уже всей балки, кинетическая энергия груза и движущейся балки переходит в потенциальную энергию изгиба. Для вычисления этой энергии необходимо знать скорость груза и скорость остальных сечений балки по ее длине.

Кинетическая энергия груза и балки до удара равна кинетической энергии падающего груза . В конце первого удара кинетическая энергия груза будет . Полагая, что при ударе балка гнется по той же кривой, что и при действии статической сосредоточенной нагрузки, приложенной посредине пролета ее, кинетическую энергию балки в конце первого периода удара можно определить следующим образом.

Уравнение изогнутой оси шарнирно опертой балки, статически нагруженной посредине пролета, легко представить в виде

где — стрела прогиба балки.

Если под действием удара среднее сечение балки переместится на величину от положения статического равновесия, то сечение на расстоянии x от левого конца (рис. 8.12) переместится на

Скорость движения этого сечения при ударе

Тогда кинетическая энергия элемента балки длиной dx определится так:

а кинетическая энергия всей балки

(8.44)

В конце первого периода удара, когда скорость сечения балки в месте удара

кинетическая энергия балки определится формулой

Таким образом, потерянная при ударе кинетическая энергия может быть вычислена по формуле

(8.45)

С другой стороны, эту же энергию можно вычислить иначе. Действительно, кинетическая энергия, потерянная грузом за счет изменения скорости на величину , будет

В то же время кинетическая энергия балки, приобретенная за счет изменения скорости на величину , равна

Поэтому суммарная кинетическая энергия груза и балки, соответствующая потерянной скорости груза и приобретенной скорости балки, может быть вычислена по формуле

(8.46)

Поскольку правые части формул (8.45) и (8.46) выражают одну и ту же энергию, то их можно приравнять, т. е.

Отсюда определим скорость груза вместе с балкой в конце первого этапа удара:

(8.47)

Имея скорость , можно вычислить кинетическую энергию системы (груза с балкой), которая должна полностью перейти в упругую энергию деформации балки:

Подставляя в эту формулу согласно формуле (8.47), получим

(8.48)

поскольку

(8.49)

Тогда формула (16.43) для определения максимального динамического напряжения в балке при ударе с учетом массы балки должна быть записана в виде

Подставляя вместо T его значение согласно формуле (16.48), получим

т. е. в этом случае коэффициент динамичности

(8.50)

Рассматривая выражения (8.48) и (8.50), видим, что если отношение не мало по сравнению с единицей, то энергия удара заметно меньше величины , т. е. учет массы балки снижает расчетные напряжения в балке при ударе, а неучет массы, по-видимому, идет в запас прочности. Вообще же анализ последней формулы показывает, что одна и та же кинетическая энергия, запасенная ударяющей массой, будет вызывать разные динамические напряжения в зависимости от массы ударяемой балки, при этом, чем больше масса последней, тем напряжения будут меньше.

Пример 8.7.Определить напряжения и осадку рессоры автомобиля,если его колесо с небольшой скоростью попадает в канаву глубиной H = 200 мм. Нагрузка на рессору P = 7 кН. Рессора представляет собой балку равного сопротивления. Состоит рессора из 11 листов, длина ее l = 1020 мм. Ширина листа b = 65 мм, высота h = 6 мм. Модуль упругости материала рессоры E = 2,1?10⁵ МПа.

Определим статическую деформацию рессоры:

где — некоторый коэффициент , учитывающий степень приближения практически выполненной рессоры к балке равного сопротивления. Подставляя в последнюю формулу известные величины и принимая , находим, что

Статическое напряжение

Определяем коэффициент динамичности:

Осадка рессоры при попадании колеса автомобиля в канаву

Определяем динамическое напряжение:

Дата добавления: 2014-12-07