Математические модели движения ЛА на примере самолета

Матмодель пространственного движения самолета.

Как было оговорено ранее, движение ЛА в воздушном пространстве будем представлять как движение абсолютно твердого тела, имеющего шесть степеней свободы. Принимая это во внимание, можем рассмотреть: движение самолета вместе с центром масс (поступательное) и движение самолета вокруг центра масс (вращательное).

При получении матмодели пространственного движения самолета вначале необходимо ввести ряд допущений, которые позволят упростить процедуру вывода, что в дальнейшем позволит получать уравнения наиболее применимые для практической реализации.

Основные допущения:

-- самолет – абсолютно твердое тело, с постоянными массовыми и инерционными характеристиками,

-- оси связанной системы координат совпадают с главными осями инерции ЛА, так как центробежные моменты инерции ЛА равны 0,

-- вектор сил тяги считается приложенным в центре масс ЛА, то есть, данный вектор не создает момента, относительно какой-либо из осей,

-- форма земной поверхности считается плоской, также не учитывается движение земной поверхности в инерциальном пространстве,

-- воздушная среда считается неподвижной.

Используя вышесказанное, уравнения самолета как твердого тела могут быть описаны с помощью теоремы об изменении количества движения (поступательное движение) и теоремы об изменении моментов количества движения (вращательное движение).

Теорема об изменении количества движения:

(II закон Ньютона) (4.1)

Теорема об изменении кинетического момента:

(4.2)

K – вектор момента количества движения,

M – главный вектор момента (геометрическая сумма всех моментных усилий, действующих на ЛА)

Из теоремы можно получить скалярные уравнения, описывающие 6 степеней свободы ЛА. Уравнения поступательного движения – проекции векторного уравнения 4.1 на оси траекторной СК. Уравнения вращательного движения – проекции 4.2 на оси связанной СК.

Полученные шесть уравнений дополняются геометрическими уравнениями для определения углов атаки, скольжения и угла скоростного крена, кинематическими уравнениями для определения угла наклона траектории и угла пути, а также уравнениями траекторного движения для определения пространственного положения центра масс.

-

Выведение уравнений сил.

При выведении уравнений сил будем использовать известную формулу векторного анализа, которая описывает производную вектора а в неподвижной СК как сумму производной вектора в подвижной СК и векторного произведения а на угловую скорость вращения подвижной СК.

xA (4.3)

Используя формулу 4.3 запишем первое векторное уравнение 4.1, как уравнение сил в проекция на оси связанной СК:

(4.4)

В этом уравнении F_x, F_y, F_z – проекции главного вектора внешних сил на оси связанной СК. V_x, V_y, V_z – проекции вектора скорости центра масс ЛА на оси связанной СК. Поскольку в траекторной СК приведенные уравнения сил 4.4 имеют более простой вид, что связано с тем, что ось ОХ_к совпадает с вектором скорости ЛА, а проекции вектора скорости ЛА на оси ОУ_к, ОZ_к равны 0, то перепроектируем 4.4 в траекторную СК:

(4.5)

F_xк, F_yк, F_zк – проекции главного вектора внешних сил на оси траекторной СК, ω_yk и ω_zk – проекции вектора абсолютной угловой скорости на оси ТСК.

Раскрывая правые части 4.5 будем учитывать: силу тяги двигателя (Р), силу веса ЛА (G), полную аэродинамическую силу (R), состоящую из подъемной силы (Y_a), силы лобового сопротивления (X_a) и боковой аэродинамической силы (Z_a).

Аэродинамические силы определяются в СкСК и направлены по соответствующим осям этой СК. При этом направление силы лобоыого сопротивления совпадает с отрицательным направлением оси ОХ_а, которая в свою очередь совпадает с ОХ_к ТСК. СкСК наклонена относительно ТСК на угол скоротного крена γ_а. Поэтому проекции R на оси ТСК определяются следующим образом.

(4.6)

Вектор силы тяги Р совпадает с направлением продольной оси ЛА, поэтому его проекцию на оси ТСК можно получить с помощью матрицы перехода от СвСК к ТСК

(4.7)

Направление вектора силы тяжести G совпадает с отрицательным направлением оси ОУ_g, которая наклонена относительно горизонтальной плоскости горизонта на угол θ. Поэтому проектируя вектор силы тяжести на оси ТСК получим:

(4.8)

Используя соотношения 4.6, 4.8, 4.9, запишем уравнения сил в ТСК:

-

(4.10)

Выведение уравнений моментов.

Уравнения моментов служат для описания вращательного движения ЛА. Для их выведения будем использовать теорему об изменении момента количества движения:

(4.11)

Используя формулу для определения полной производной вектора в проекциях на оси СвСК, найдем проекции векторного выражения 4.11 на оси СвСК.

(4.12)

При записи уравнений в СвСК воспользуемся тем допущением, что оси СвСК совпадают с главными центральными осями самолета, при этом ненулевыми моментами инерции будут только осевые. Таким образом 4.12 имеет вид:

(4.13)

Используя системы 4.10 и 4.13 получена система уравнений, описывающих 6 степеней свободы нашего самолета.

Для того, чтобы замкнуть систему необходимо получить дополнительные соотношения для определения параметров полета, от которых зависят правые части полученных уравнений сил и моментов.

Геометрические уравнения.

Для определения угла атаки, скольжения и скоростного крена, которые необходимы для определения сил и моментов, действующих на самолет, используются геометрические соотношения, полученные приравниванием соответствующих матриц направляющих косинусов.

(рис.4.1)

1)

2)

3)

Перепишем все системы уравнений, необходимые нам в будущем:

-

Дата добавления: 2014-12-07