Линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка и его решение

Так называется уравнение вида

, (3)

где Р (х), Q (x) — некоторые функции переменной х.

Решение этого уравнения можно найти методом Бернулли, который заключается в применении подстановки y = u · v, где u = u (x),
v = v (x) — некоторые неизвестные функции.

Так называется уравнение вида

(4)

Функции y ₁(x), y ₂(x) называются линейно независимыми, если равенство

(5)

(, — постоянные) возможно лишь в случае .

Если хотя бы одна (i = 1, 2), а тождество (5) возможно, то функции y ₁(x), y ₂(x), называются линейно зависимыми.

Пример. 1. y ₁ = , y ₂ = —линейно независимые функции при .

2. y ₁ = , y ₂ = — линейно независимые функции.

Теорема. Если y ₁, y ₂ — какие-либо два линейно независимые частные решения однородного линейного уравнения (4), то его общим решением служит функция y = C ₁ y ₁ + C ₂ y ₂ , где C ₁, C ₂ — произвольные постоянные.

Дата добавления: 2014-12-08