Вопросы для самопроверки. 1. Что называется числовым рядом, членами ряда?

1. Что называется числовым рядом, членами ряда? Приведите примеры.

2. Что вы понимаете под суммой ряда? Какой ряд называется сходящимся?

3. Сформулируйте признак расходимости ряда в термине предела общего члена.

4. Дайте определение обобщенного гармонического ряда. При каких р он сходится?

5. Сформулируйте первый и второй признаки сравнения. В чем их общность и отличие?

6. Сформулируйте достаточный признак сходимости знакочередующегося ряда. Как вычислить сумму членов знакочередующегося ряда с указанной степенью точности?

7. Что называется степенным рядом? Что вы понимаете под точкой сходимости этого ряда?

8. Что называется радиусом сходимости степенного ряда и как его определить?

9. Чем отличается область сходимости от интервала сходимости степенного ряда?

10. Какие основные свойства степенных рядов вы знаете?

11. Что вы понимаете под рядом Маклорена? Как разложить функции в этот ряд?

12. Какие разложения элементарных функций в ряд Маклорена вы знаете?

Типовая задача 4

Написать степенной ряд по заданному общему члену

Найти область сходимости этого ряда.

Решение. При n = 0 получаем свободный член a ₀ = 1 данного ряда, при n = 1 — член , при n = 2 — член и т. д.

Получаем следующий ряд:

….

Находим радиус сходимости данного ряда. Имеем:

Следовательно, (–7; 7) — интервал сходимости ряда. Исследуем поведение ряда на концах интервала сходимости, т. е. при x = –7,
x = 7.

Пусть x = –7. Тогда степенной ряд принимает вид

1 + 1 + …+ 1 + ….

Так как , то ряд расходится (достаточное условие расходимости числового ряда).

Пусть x = 7. Получаем следующий знакочередующийся ряд:

Этот ряд расходится, так как не существует предела последовательности 1,0,1,0… частичных сумм этого ряда.

Таким образом, (–7; 7) — область сходимости данного степенного ряда.

Ответ: (–7; 7).

Типовая задача 5

Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001, используя разложение подынтегральной функции в ряд Маклорена.

Решение. Воспользуемся разложением функции e^x:

e^x = 1 + x + + … + + ….

Заменив x на , получим:

= 1 – + – … + ….

Умножая обе части последнего равенства на x, будем иметь:

= x – + …+ +….

Итак, dx = =
= = – + –
– … + … = – + – … + ….

Получаем знакочередующийся ряд. По признаку Лейбница имеем:

1. .

2. .

Значит, ряд сходится. По этому признаку первый отбрасываемый член по модулю меньше u_{n +1}. Если u_{n +1} взять по модулю меньшим, чем 0,001, то из u_{n +1} < 0,001 следует, что остаток R_n меньше 0,001. Имеем:

.

Значит, — первый отбрасываемый член.

Таким образом, с точностью до 0,001

Ответ: 0,393.

4. Задания 6 и 7
по теме «Обыкновенные дифференциальные уравнения»

Дата добавления: 2014-12-08