Вопросы для самопроверки. Вычисление площадей плоских фигур при помощи определенного интеграла

Вычисление площадей плоских фигур при помощи определенного интеграла

Замена переменной в определенном интеграле

Если — функция, непрерывная вместе со своей производной на отрезке [ ], , , то

.

Площадь фигуры, ограниченной кривыми (рис. 18) у = f ₁(x), у =
= f ₂(x) (f ₁(x) f ₂(x)) и прямыми х = а, х = b, находится по формуле

.

Рис. 18

1. Что называется первообразной для функции y = f (x)?

2. Что называется неопределенным интегралом от функции y = f (x)?

3. Какие свойства имеет неопределенный интеграл?

4. Какие методы интегрирования вы знаете?

5. Какие типы простейших рациональных дробей вы знаете? Как они интегрируются?

6. Каким образом находятся неопределенные интегралы от рациональных дробей?

7. Какой вы знаете метод интегрирования иррациональностей?

8. Что называется определенным интегралом?

9. Какие вы знаете свойства определенного интеграла?

10. Какую экономическую интерпретацию определенного интеграла вы знаете?

11. Каким образом применяется определенный интеграл для вычисления площадей плоских фигур?

Типовая задача 2

Найти неопределенные интегралы:

1) ;

2) ;

3) .

Результаты проверить дифференцированием.

Решение. 1) Так как , то, положив u = x ⁴, получим

.

Отсюда = = = =
= .

Проверка: = = = =
= .

2) Применим формулу интегрирования по частям:

u = arctg 2 x du = , dv = xdx v = .

Тогда = –
– = – = –
– = – = –
– .

Проверка: = –
– + + с' = + – +
+ + 0 = + – + = = + – + = + =
= .

3) Данная подынтегральная дробь неправильная, поэтому сначала выделим целую часть, поделив числитель на знаменатель:

	x ^2 – 3 x + 2
2 x + 6
14 x – 13

Итак, .

Отсюда = dx + dx = [ х ² – 3 х + 2 =
= (х – 1) · (х – 2)] = + = I.

Представим правильную дробь в виде суммы простейших:

= = = .

Избавляясь от знаменателей, получим

14 х – 13 = ( А + В ) · х + (–2 А – В ).

Приравнивая соответствующие коэффициенты при неизвестных в левой и правой частях равенства, получим систему уравнений

Тогда = .

Итак, = +15· =
= + = + + с.

Проверка: = (х ²) ' + (6 х) ' –
– (ln | x – 1|) ' + (15 · ln| x – 2|) ' + c' = 2 x + 6 – · (x – 1) ' +
+ · (x – 2) ' + 0 = 2 x + 6 – + =
= =
= =
= = .

Ответ: 1) ; 2) ;

3) + + с.

Типовая задача 3

Найти площадь фигуры, заключенной между линиями y = x ² – 7 x +
+ 12, y = x – 3.

Решение. Фигура имеет вид, изображенный на рис. 19.

Рис. 19

Определим координаты точек пересечения линий. Для этого решим следующую систему уравнений:

Абсциссы точек пересечения линий — х = 3, х = 5. Следовательно, пределы интегрирования — а = 3, b = 5.

Таким образом, = =
= = = (кв. ед.).

Ответ: кв. ед.

3. Задания 4 и 5
по теме «Ряды и их применение
к приближенным вычислениям определенных интегралов»

Дата добавления: 2014-12-08