Интегрирование простейших рациональных дробей

Интегрирование методом замены переменной и по частям

Метод замены переменной проводится по формуле

где х = — некоторая дифференцируемая функция.

Если и = и (х), v = v (x) — некоторые дифференцируемые функции, то справедлива формула интегрирования по частям

Интегрирование проводят в зависимости от типа простейшей рациональной дроби.

1. (А, а — постоянные действительные числа) — простейшая рациональная дробь первого типа.

Пример. = = = = = = .

2. (А, а, т — постоянные числа, , ) — простейшая рациональная дробь второго типа.

Пример. = = = =
= = = .

3. (М, N, p, q — постоянные числа, М, N, p, q , х ² + рх + q не имеет действительных корней) — простейшая рациональная дробь третьего типа.

Пример. = + =
= dx + = dx – ·
· + 5 · = =
= – = – =
=[ d (x + 2) = (x + 2) 'dx = dx ] = – = ·
· – arctg (x + 2) + c.

4. (М, N, р, q — постоянные числа, М, N, р, q , , ; х ² + рх + q не имеет действительных корней) — простейшая рациональная дробь четвертого типа.

Интеграл от этой дроби считается с помощью рекуррентных формул, позволяющих уменьшить число т до 1.

Дата добавления: 2014-12-08