Вопросы для самопроверки. Полным приращением функции z = f(x,y) в точке М(х,у)называется разность , где ,

Полный дифференциал

Полным приращением функции z = f (x, y) в точке М (х, у)называется разность , где , — произвольные приращения аргументов.

Функция z = f (x, y) называется дифференцируемой в точке (x, y), если ее полное приращение может быть представлено в виде

,

где А и В, не зависящие от и , — постоянные; , — бесконечно малые при , функции, равные нулю при = = 0.

Полным дифференциалом функции z = f (x, y) называется главная часть полного приращения , линейная относительно приращений аргументов , , т. е. .

Для независимых переменных х, у полагают, что , .

Поэтому полный дифференциал функции z = f (x, y) вычисляется по формуле

.

Пример. Для функции z = x ² y получим:

, , dz = 2 xy dx + x ² dy.

1. Что вы понимаете под функцией нескольких переменных?

2. Какие вы знаете примеры функций нескольких переменных?

3. Что называется частной производной функции двух переменных?

4. Как вычислить полное приращение функции z = f (x, y) в произвольной точке?

5. Какая функция называется дифференцируемой в точке (x, y)?

6. Что называется полным дифференциалом функции z = f (x, y)?

7. По какой формуле вычисляется полный дифференциал функции двух переменных?

Типовая задача 1

Показать, что функция и = у · ln(x ² – y ²) удовлетворяет соотношению .

Решение. Находим частные производные:

= = = ,

= = ln(x ² –
– y ²) + = ln(x ² – y ²) – .

Подставляем полученные значения в соотношение:

= +
+ = , что и требовалось показать.

2. Задания 2 и 3
по теме «Неопределенный интеграл,
определенный интеграл и его применение
для вычисления площади фигуры»

Дата добавления: 2014-12-08