Признаки сходимости

Понятие числового знакоположительного ряда

Краткие теоретические сведения

Числовым рядом (или просто рядом)

(1)

называется бесконечная последовательность чисел u ₁, u ₂,…, u_n, …, соединенных знаком сложения.

Числа u ₁, u ₂,…, u_n,… называются членами ряда, u_n — общим членом ряда.

Ряд считается заданным, если известен его общий член u_n = f (n), т. е. задана функция от натурального аргумента.

Рассмотрим суммы конечного числа членов ряда:

S ₁ = u ₁, S ₂ = u ₁ + u ₂, …, S_n = u ₁ + u ₂ + …+ u_n.

Сумма S_n первых n членов ряда называется n- й частичной суммой ряда.

Ряд называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности его частичных сумм, т. е.

.

Число S называется суммой ряда (1) и записывается в виде

.

Если не существует или , то ряд называется расходящимся. Такой ряд суммы не имеет.

Теорема (необходимый признак сходимости ряда). Если ряд (1) сходится, то его общий член u_n стремится к нулю при , т. е. .

Для сходимости ряда (1) требование не достаточно.

Пример. Ряд , называемый гармоническим рядом, расходится, хотя и .

Следствие (достаточное условие расходимости ряда). Если или этот предел не существует, то ряд расходится.

Простейшими примерами числовых рядов являются следующие ряды:

1. Обобщенный гармонический ряд (n N, p R).

Он сходится при p > 1, расходится при p £ 1.

2. Ряд, составленный из членов бесконечной геометрической прогрессии .

При | q | ³ 1 он расходится, при | q | < 1 — сходится.

Перечислим некоторые признаки сходимости для числовых рядов с положительными членами.

Признак Даламбера. Если существует предел , то:

1. При ряд (1) сходится.

2. При ряд (1) расходится.

3. При q = 1 вопрос о сходимости остается открытым.

Признак Коши. Если существует то:

1. При ряд (1) сходится.

2. При ряд (1) расходится.

3. При q = 1 вопрос о сходимости остается открытым.

Признаки сравнения

Пусть даны два ряда

u ₁ + u ₂ + … + u_n + …, (2)

v ₁ + v ₂ + … + v_n + …. (3)

1. Если u_n £ v_n и ряд (3) сходится, то сходится и ряд (2).

Если ряд (2) расходится, то расходится и ряд (3).

Пример. Так как ряд сходится (частный случай при обобщенного гармонического ряда) и , то сходится и ряд .

Пример. Ряд расходится, так как расходится ряд (частный случай при p = обобщенного гармонического ряда) и .

2. Если существует конечный предел , то ряды (2) и (3) сходятся или расходятся одновременно.

Пример. Ряд является сходящимся, так как существует сходящийся ряд (частный случай при p = 3 > 1 обобщенного гармонического ряда) и конечный предел:

Дата добавления: 2014-12-08