Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Вопросы для самопроверки. 1. Что называется обыкновенным дифференциальным уравнением?




1. Что называется обыкновенным дифференциальным уравнением? Приведите примеры.

2. Что называется общим решением дифференциального уравнения n- го порядка? Что такое частное решение этого уравнения?

3. Где применяются дифференциальные уравнения в области экономики? Приведите примеры.

4. В чем состоит задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка, разрешенного относительно производной? Опишите геометрическую интерпретацию этой задачи.

5. Какое дифференциальное уравнение называется уравнением с разделяющимися переменными? Как оно решается?

6. Какое уравнение называется линейным неоднородным уравнением первого порядка и как оно решается?

7. Что называется линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка? Какими свойствами обладает общее решение этого уравнения?

8. Каким образом решается линейное однородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами?

9. Что называется линейным неоднородным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами? Какова структура его общего решения?

10. Какие вы знаете случаи нахождения частного решения неоднородного уравнения по виду его правой части?

Типовая задача 6

Найти общее решение дифференциального уравнения и частное решение, удовлетворяющее начальному условию .

Решение. Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка решаем методом Бернулли. Полагаем, что y = u · v, где u, v — некоторые неизвестные пока функции. Тогда y' = u' · v + u · v'. Подставляя в данное уравнение вместо y, y' их указанные значения, получим:

или

. (9)

Выберем функцию таким образом, чтобы выполнялось равенство .

Отсюда, учитывая, что , представим уравнение в виде

.

Интегрируем: .

Отсюда

где с = ln c 1 ,

где с 2 = c 1 .

Пусть с 2 = 1. Тогда .

Подставляя полученное значение функции v в формулу (9),
получим:

= , ,

, , u = sin x + C.

Таким образом, — общее решение данного дифференциального уравнения.

 

Теперь решаем задачу Коши. Подставляем в формулу общего решения вместо х, у соответственно числа :

Итак, — частное решение данного дифференциального уравнения, удовлетворяющее поставленному начальному условию.

Ответ: , .

Типовая задача 7

Найти общее решение дифференциального уравнения y'' – 5 y' + 4 y =
= x 2 – 1.

Решение. Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Решаем однородное уравнение y'' – 5 y' + 4 y = 0. Для этого составляем характеристическое уравнение k 2 – 5 k + 4 = 0, откуда k 1 = 1, k 2 = 4.

Тогда y = C 1 · ex + C 2 · e 4 x — общее решение однородного уравнения.

Находим частное решение неоднородного уравнения. Его будем искать в виде .

Тогда . Подставляя полученные значения , , в исходное уравнение, будем иметь:

2 A – 10 Ax – 5 B + 4 Ax 2 + 4 Bx + 4 C = x 2 – 1,

или

4 Ax 2 + (4 B – 10 A) · x + 2 A – 5 B + 4 C = x 2 – 1.

Два многочлена между собой равны тогда и только тогда, когда равны коэффициенты при одинаковых степенях. Отсюда

Таким образом,

Итак, — общее решение данного неоднородного уравнения.

Ответ: .

 





Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-12-08; Просмотров: 428; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.016 сек.