Дифференциальные уравнения первого порядка. с разделяющимися переменными

Контрольная работа № 4

с разделяющимися переменными

Д ифференциальное уравнение с разделяющимися переменными имеет вид

(1)

Поделив обе части уравнения (1) на , получим уравнение

,

в котором переменные разделены. Общий интеграл уравнения находится почленным интегрированием:

.

Пример 1.

Найти общий интеграл уравнения .

Решение.

Разделим переменные в данном уравнении, поделив обе его части на выражение

:

.

Интегрируя обе части уравнения, имеем

,

(мы воспользовались тем, что С – произвольная постоянная, и для удобства дальнейших преобразований заменили С на lnС). Отсюда получаем

, или .

Это и есть общий интеграл (общее решение) данного уравнения.

Пример 2.

Найти частный интеграл (частное решение) данного дифференциального уравнения, удовлетворяющее указанным начальным условиям.

y(0)=1.

Решение.

Найдем сначала общее решение.

Данное дифференциальное уравнение задано в неявной форме. Для того, чтобы удобно было разделить переменные и проинтегрировать уравнение, представим производную в виде :

,

умножим обе части уравнения на dx:

.

Теперь можно приступать к разделению переменных, поделив обе части уравнения на выражение :

.

Интегрируя обе части уравнения, имеем

,

разделим обе части уравнения на 2 и преобразуем правую часть, воспользовавшись свойством логарифма:

Мы получили общее решение данного дифференциального уравнения. Найдем теперь такое значение С, при котором найденное решение будет удовлетворять условию у(0)=1, для этого подставим в полученное общее решение значения х=0 и у=1:

,

получаем , т.е. С=1.

Подставив вместо С его значение в общее решение дифференциального уравнения, мы получим его частное решение, удовлетворяющее данным начальным условиям:

.

Пример 3.

Найти частный интеграл (частное решение) дифференциального уравнения

, удовлетворяющий начальному условию y(2)=0.

Решение.

Представим в виде :

,

умножим обе части уравнения на dx:

.

Теперь приступаем к разделению переменных, для этого разделим обе части уравнения на , после чего получим:

.

Проинтегрируем обе части полученного уравнения:

после чего получим: ,

возведя обе части уравнения в третью степень получаем семейство кривых, являющееся решением данного дифференциального уравнения:

.

Следует заметить, что при делении на выражение произошла потеря решения данного уравнения, а именно функции у=0.

Следовательно, решением данного уравнения является семейство функций вида и функция y=0

Найдем теперь такое значение С, при котором найденное решение будет удовлетворять условию y(2)=0, для этого подставим в полученное общее решение значения х=2 и у=0:

,

откуда С+2=0

С=-2,

Тогда частное решение данного дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям у(2)=0 будет иметь вид:

.

Графически общее решение данного дифференциального уравнения можно проиллюстрировать так:

Дата добавления: 2014-12-27