Решение линейного уравнения

Будем искать решение данного линейного уравнения в виде произведения двух функций от х: y=u(x)v(x). (2)

Одну из этих функций можно взять произвольной, другая определится на основании уравнения (1).

Дифференцируя обе части равенства (2), находим: , или

Подставляя полученное выражение производной в уравнение (1), будем иметь: , вынесем за скобки в левой части полученного уравнения u: (3)

Выберем функцию v такой, чтобы

(4)

Разделяя переменные в этом дифференциальном уравнении относительно функции v, находим:

Интегрируя, получаем:

Так как достаточно какого-нибудь отличного от нуля решения уравнения (4), то за функцию v(x) возьмем:

где - какая-нибудь первообразная. Очевидно, что

Подставляя найденное значение v(x) в уравнение (3), получим (учитывая, что

откуда

Подставляя u и v в формулу (2), окончательно получаем:

или

Дата добавления: 2014-12-27