КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Дифференциальные уравнения второго порядка
Дифференциальными уравнениями второго порядка называют уравнения вида , в левую часть которых входит вторая производная неизвестной функции. Частные случаи уравнений второго порядка.
Так как то интегрируя ещё раз, будем иметь где и - произв. постоянные.
, тогда и преобразуем уравнение к виду: . Если найдём решение уравнения то искомое решение получим интегрированием равенства .
Пример
Полагая и , получим: , которое является линейным. Решим сначала однородное уравнение:
Пусть
Тогда
3. Правая часть уравнения не содержит x: Положим и будем считать p функцией от y. Дифференцируя это равенство, получим . Чтобы исключить x, произведём следующее преобразование: . Т.о. Подставив в уравнение, будем иметь , т.е. уравнение первого порядка относительно p как функции от y. Пример: Полагая и получим, . Это уравнение первого порядка с разветвляющимися переменными.
Определим из уравнения
Линейные, неоднородные дифференциальные уравнения II порядка с постоянными коэффициентами y′′+py′+qy=f(x) (1) p,q - действительные числаf(x)-непрерывная функция Общее решение является суммой частного решения неоднородного уравнения и общего решения однородного уравнения Если в правой части многочлен, показательная функция, sinbx, cosbx или их линейная комбинация, то частное решение может быть найдено методом неопределенных коэффициентов.
f(x)=Pn(x), где Pn(x)=a0 xn+a1 xn-1+…+an-1 x+an многочлен степени n. Тогда частное решение можно искать в виде y*=Qn(x)xr , где Qn(x) – многочлен той же степени, что и Pn(x), а r- число корней характеристического уравнения, равных нулю.
Например: y′′-2y′+y=x+1 k2-2k+1=0 (k-1)2=0 k1=k2=1 Общее решение однородного уравнения т.к. r =0 (корни характеристического уравнения не равны нулю), то частное решение ищем в виде y*=(Ax+B)x0=Ax+B y*=Ax+B Дважды продифференцируем и подставим в исходное уравнение (y*)′ =A (y*)′′=0 0-2A+Ax+B=x+1 Частное решение данного уравнения имеет вид: y*=x+3 А его общее решение 2. Правая часть имеет вид f(x)=ea xPn(x), где Pn(x) – многочлен степени n. Частное решение y* ищут в виде , где Qn(x)- многочлен той же степени, что и Pn(x) r – число корней характеристического уравнения равных a. (если a=0, то f(x)=Pn(x) т.е. будет 1 случай). Например: Найти общее решение уравнения y′′-4y′+3y=xex a=1, Pn(x)=x, n=1 k2- 4k+3=0 k1=1, k2=3 Общее решение однородного уравнения т. к. только один корень k1=a=1, то r=1 Pn(x)=x Частное решение ищем в виде: y*=(Ax+B)xex=(Ax2+Bx)ex (y*)′=(Ax2+Bx)ex+ (2Ax+B)ex= =ex(Ax2+Bx+2Ax+B) (y*)′′= ex(Ax2+Bx+2Ax+B)+ ex(2Ax +B +2A) Подставим в исходное уравнение: ex(Ax2+Bx+4Ax+2B+2A-4Ax2-4Bx-8Ax- -4B+3Ax2+3Bx)=xex: ex x(-4A)+2A-2B=x
Общее решение уравнения: 3. Правая часть имеет вид: , где a,b,b – известные числа. Тогда частное решение ищут в виде: y*=(Acos b x+Bsinb x) xr, где A и B неизвестные коэффициенты, r -число корней характеристического уравнения, равных ib. Например: y ′′ + y = sinx a=0, b=1, b=1 k2+1=0 k1=i, k2=-i Общее решением однородного уравнения: так как bi=i корень характеристического уравнения, то r = 1. Частное решение ищем в виде: y*=(Acosx+Bsinx)x (y*)′=(Acosx+Bsinx)x+x(-Asinx+Bcosx) (y*)′′=-Asinx+Bcosx+Bcosx-Asinx+ +x(-Acosx-Bsinx) - Asinx+Bcosx+Bcosx-Asinx-xA cosx - -xB sinx+xA cosx+Bsinx=sinx -2Asinx+2Bcosx=sinx
IY. Правая часть имеет вид f(x)=eax(Pn(x)cosb x+Pm(x)sinb x), где Pn(x) - многочлен степени n, Pm(x) - многочлен степени m. Тогда частное решение ищут в виде: где Q1 и Q2 многочлены степени S, S=max(n;m,)r - число корней характеристического уравнения, равных a+b i. Например: y′′-y=3e2xcosx/ a =2 b=1
k2 -1=0 k 1=1 k 2=-1 Общее решение однородного уравнения В правой части Pn=3 n=0, Pm=0 m=0, Þ S=0 a + b i=2+ i -не являeтся корнем характеристического уравнения, следовательно частное решение ищем в виде: y*=e2x(Acosx+Bsinx) (y*)′ =2e2x(Acosx+Bsinx)+ + e2x(-A sinx+Bcosx)= = e2x(2Acosx+2Bsinx –Asinx+Bcosx) (y*)′′= 2 e2x(2Acosx+2Bsinx –Asinx+Bcosx)+ + e2x(-2Asinx+2Bcosx –Acosx-Bsinx) подставим y*, (y*)′′ в уравнение: 4Acosx+4Bsinx-2Asinx+2Bcosx-2Asinx+2Bcosx-Acosx-Bsinx+ +Acosx+Bsinx=3cosx
Общее решение Теорема: Если – решение уравнения y′′+py′+qy=f1(x), - решение уравнения y′′+py′+qy=f2(x), то сумма + является решением y′′+py′+qy=f1(x)+ f2(x)
Например: y′′-2y′+ y= sinx+e - x k2-2k+1=0 k1=k2=1, тогда общее решение однородного уравнения будет в виде Частное решение уравнения будет в виде y*=y1*+y2* где y1* –решение уравнения y′′-2y′+ y= sinx Где y2*- решение уравнения y′′-2y′+ y= e-x 1. Найдем частное решение y1*, т.к. ib=i не является корнем характеристического уравнения (r=0), то решение y1*=Asinx+Bcosx (y1*)′= Acosx-Bsinx (y1*)′′=-Asinx-Bcosx Подставим в уравнение -Asinx-Bcosx--2Acosx +2Bsinx+ Asinx+ Bcosx =sinx y1*=1/2 cosx 2. Найдем частное решение y2* y2*=Ae-x т.к. a =-1 не является корнем характеристического уравнения. (y2*)′= -Ae - x (y2*)′′=Ae - x Ae – x -2(-Ae - x)+Ae –x = e - x 4A=1 Þ A=1/4 y2*=1/4 e-x Таким образом, частное решение данного уравнения y*=y1*+y2*=1/2 cosx+1/4e-x Общее решение уравнения y = + 1/2 cosx+1/4e-x
Неоднородные уравнения высших порядков , (1) где -непрерывные функции от x (или постоянные числа) (2) Теорема: Если – общее решение однородного уравнения (2), а y *– частное решение неоднородного уравнения (1), то Y = + y * - общее решение неоднородного уравнения (1). Например: yIY- y =x3+ 1 k4-1=0 k1= 1, k2=- 1 ,k3=i, k4= -i. Общее решение однородного уравнения = c1ex+c2 e -x+c3 cosx+c4 sinx Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде y*=A0x3+A1 x 2+A2 x +A3 (y*)′=3A0 x 2+2A1 x +A2 (y*)′′=6A0 x +2A1 (y*)′′′=6A 0 yIY=0 0 - A0 x 3-A1 x 2-A2 x -A3= x 3+ 1 y= c1ex+c2 e -x+c3 cosx+c4 sinx-x3- 1
Дата добавления: 2014-12-27; Просмотров: 779; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |