Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Дифференциальные уравнения второго порядка




Дифференциальными уравнениями второго порядка называют уравнения вида , в левую часть которых входит вторая производная неизвестной функции.

Частные случаи уравнений второго порядка.

 

  1. Правая часть уравнений не содержит и :

Так как то интегрируя ещё раз, будем иметь где и - произв. постоянные.

 

  1. Правая часть уравнения не содержит :

, тогда и преобразуем уравнение к виду: .

Если найдём решение уравнения то искомое решение получим интегрированием равенства .

Пример

Полагая и , получим: , которое является линейным.

Решим сначала однородное уравнение:

 

Пусть

Тогда

 

3. Правая часть уравнения не содержит x:

Положим и будем считать p функцией от y. Дифференцируя это равенство, получим . Чтобы исключить x, произведём следующее преобразование: .

Т.о. Подставив в уравнение, будем иметь , т.е. уравнение первого порядка относительно p как функции от y.

Пример:

Полагая и получим, .

Это уравнение первого порядка с разветвляющимися переменными.

 

 

Определим из уравнения

 

Линейные, неоднородные дифференциальные уравнения II порядка

с постоянными коэффициентами

y′′+py′+qy=f(x) (1)

p,q - действительные числаf(x)-непрерывная функция

Общее решение является суммой частного решения неоднородного уравнения и общего решения однородного уравнения

Если в правой части многочлен, показательная функция, sinbx, cosbx или их линейная комбинация, то частное решение может быть найдено методом неопределенных коэффициентов.

  1. Правая часть имеет вид:

f(x)=Pn(x),

где

Pn(x)=a0 xn+a1 xn-1+…+an-1 x+an многочлен степени n.

Тогда частное решение можно искать в виде

y*=Qn(x)xr ,

где Qn(x) – многочлен той же степени, что и Pn(x), а r- число корней характеристического уравнения, равных нулю.

Например: y′′-2y′+y=x+1

k2-2k+1=0

(k-1)2=0

k1=k2=1

Общее решение однородного уравнения

т.к. r =0 (корни характеристического уравнения не равны нулю), то частное решение ищем в виде

y*=(Ax+B)x0=Ax+B

y*=Ax+B

Дважды продифференцируем и подставим в исходное уравнение

(y*)′ =A

(y*)′′=0

0-2A+Ax+B=x+1

Частное решение данного уравнения имеет вид: y*=x+3

А его общее решение

2. Правая часть имеет вид

f(x)=ea xPn(x),

где Pn(x) – многочлен степени n.

Частное решение y* ищут в виде

,

где Qn(x)- многочлен той же степени, что и Pn(x)

r – число корней характеристического уравнения равных a. (если a=0, то f(x)=Pn(x) т.е. будет 1 случай).

Например: Найти общее решение уравнения

y′′-4y′+3y=xex

a=1, Pn(x)=x, n=1

k2- 4k+3=0

k1=1, k2=3

Общее решение однородного уравнения

т. к. только один корень k1=a=1, то r=1

Pn(x)=x

Частное решение ищем в виде:

y*=(Ax+B)xex=(Ax2+Bx)ex

(y*)′=(Ax2+Bx)ex+ (2Ax+B)ex=

=ex(Ax2+Bx+2Ax+B)

(y*)′′= ex(Ax2+Bx+2Ax+B)+ ex(2Ax +B +2A)

Подставим в исходное уравнение:

ex(Ax2+Bx+4Ax+2B+2A-4Ax2-4Bx-8Ax-

-4B+3Ax2+3Bx)=xex: ex

x(-4A)+2A-2B=x

Общее решение уравнения:

3. Правая часть имеет вид:

,

где a,b,b – известные числа. Тогда частное решение ищут в виде:

y*=(Acos b x+Bsinb x) xr,

где A и B неизвестные коэффициенты,

r -число корней характеристического уравнения, равных ib.

Например: y ′′ + y = sinx

a=0, b=1, b=1

k2+1=0

k1=i, k2=-i

Общее решением однородного уравнения:

так как bi=i корень характеристического уравнения, то r = 1.

Частное решение ищем в виде: y*=(Acosx+Bsinx)x

(y*)′=(Acosx+Bsinx)x+x(-Asinx+Bcosx)

(y*)′′=-Asinx+Bcosx+Bcosx-Asinx+

+x(-Acosx-Bsinx)

- Asinx+Bcosx+Bcosx-Asinx-xA cosx -

-xB sinx+xA cosx+Bsinx=sinx

-2Asinx+2Bcosx=sinx

IY. Правая часть имеет вид

f(x)=eax(Pn(x)cosb x+Pm(x)sinb x),

где Pn(x) - многочлен степени n,

Pm(x) - многочлен степени m.

Тогда частное решение ищут в виде:

где Q1 и Q2 многочлены степени S, S=max(n;m,)r - число корней характеристического уравнения, равных a+b i.

Например: y′′-y=3e2xcosx/

a =2 b=1

k2 -1=0

k 1=1 k 2=-1

Общее решение однородного уравнения

В правой части Pn=3 n=0,

Pm=0 m=0, Þ S=0

a + b i=2+ i -не являeтся корнем характеристического уравнения, следовательно частное решение ищем в виде: y*=e2x(Acosx+Bsinx)

(y*)′ =2e2x(Acosx+Bsinx)+

+ e2x(-A sinx+Bcosx)=

= e2x(2Acosx+2Bsinx –Asinx+Bcosx)

(y*)′′= 2 e2x(2Acosx+2Bsinx –Asinx+Bcosx)+

+ e2x(-2Asinx+2Bcosx –Acosx-Bsinx)

подставим y*, (y*)′′ в уравнение:

4Acosx+4Bsinx-2Asinx+2Bcosx-2Asinx+2Bcosx-Acosx-Bsinx+

+Acosx+Bsinx=3cosx

Общее решение

Теорема: Если – решение уравнения

y′′+py′+qy=f1(x),

- решение уравнения

y′′+py′+qy=f2(x),

то сумма + является решением

y′′+py′+qy=f1(x)+ f2(x)

 

Например: y′′-2y′+ y= sinx+e - x

k2-2k+1=0

k1=k2=1,

тогда общее решение однородного уравнения будет в виде

Частное решение уравнения будет в виде

y*=y1*+y2*

где y1* –решение уравнения

y′′-2y′+ y= sinx

Где y2*- решение уравнения

y′′-2y′+ y= e-x

1. Найдем частное решение y1*, т.к. ib=i не является корнем характеристического уравнения (r=0), то решение

y1*=Asinx+Bcosx

(y1*)′= Acosx-Bsinx

(y1*)′′=-Asinx-Bcosx

Подставим в уравнение

-Asinx-Bcosx--2Acosx +2Bsinx+ Asinx+ Bcosx =sinx

y1*=1/2 cosx

2. Найдем частное решение y2*

y2*=Ae-x

т.к. a =-1 не является корнем характеристического уравнения.

(y2*)′= -Ae - x

(y2*)′′=Ae - x

Ae – x -2(-Ae - x)+Ae –x = e - x

4A=1 Þ A=1/4

y2*=1/4 e-x

Таким образом, частное решение данного уравнения y*=y1*+y2*=1/2 cosx+1/4e-x

Общее решение уравнения

y = + 1/2 cosx+1/4e-x

 

Неоднородные уравнения

высших порядков

, (1)

где -непрерывные функции от x (или постоянные числа)

(2)

Теорема: Если – общее решение однородного уравнения (2), а y *– частное решение неоднородного уравнения (1), то

Y = + y *

- общее решение неоднородного уравнения (1).

Например: yIY- y =x3+ 1

k4-1=0

k1= 1, k2=- 1 ,k3=i, k4= -i.

Общее решение однородного уравнения

= c1ex+c2 e -x+c3 cosx+c4 sinx

Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде

y*=A0x3+A1 x 2+A2 x +A3

(y*)′=3A0 x 2+2A1 x +A2

(y*)′′=6A0 x +2A1

(y*)′′′=6A 0

yIY=0

0 - A0 x 3-A1 x 2-A2 x -A3= x 3+ 1

y= c1ex+c2 e -x+c3 cosx+c4 sinx-x3- 1

 

 

 




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-12-27; Просмотров: 779; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.049 сек.