Определенный интеграл

II. Задачи и примеры

№№ 1 – 6. Вычислить

1. 2. . 3. .

4. . 5. . 6. .

№№ 7 – 12. Найти площади фигур, ограниченных линиями

7. . 8. .

9. . 10. .

11. . 12. .

13. Найти площадь фигуры между первым и вторым витками спирали Архимеда .

14. Найти площадь фигуры между локоном Аньези и параболой .

№№ 15 – 19. Найти длины дуг кривых

15. . 16. .

17. между прямыми .

18. . 19. .

20. Найти длину дуги части параболы , которая отсекается от параболы вертикальной прямой, проходящей через полюс.

21. Найти длину дуги спирали Архимеда , которая находится внутри круга радиуса .

22. Найти объем тела, образованного вращением параболического сектора с основанием и высотой :

а) вокруг основания;

б) вокруг оси симметрии;

в) вокруг касательной, проведенной через вершину сектора.

23. Найти объем тела, которое отсекается от эллиптического параболоида плоскостью .

24. Показать, что объем части, которая отсекается плоскостью от тела, образованного вращением равнобочной гиперболы вокруг оси OX, равен объему шара радиуса .

25. Найти объем тела, образованного вращением циссоиды вокруг ее асимптоты .

26. Какую работу нужно выполнить, чтобы растянуть пружину на 0.06 м, если сила 1 Н растягивает ее на 0.01 м?

27. Вычислить, какую работу нужно затратить, чтобы выкачать воду из вертикальной цилиндрической бочки, имеющей радиус основания и высоту .

28. Найти силу давления воды на вертикальный круговой конус с радиусом основания и высотой , погруженный в воду вершиной вниз так, что его основание находится на поверхности воды.

29. Вычислить кинетическую энергию прямого кругового конуса массы , вращающегося с угловой скоростью около своей оси,

если радиус основания конуса , а высота .

30. Найти центр масс дуги астроиды , которая лежит в первой четверти.

31. Найти моменты инерции площади эллипса относительно его главных осей.

32. Найти статический момент окружности относительно полярной оси.

Дата добавления: 2014-12-27