Функции многих переменных

Формула Тейлора

№№ 33 – 36. Написать разложения следующих функций по целым неотрицательным степеням

33. до члена с . 34. до члена с .

35. до члена с . 36. до члена с .

№№ 37 – 42. С помощью формулы Тейлора найти приближенное значение с точностью

37. . 38. .

39. . 40. .

41. . 42. .

№№ 43 – 46. Найти числа и такие, чтобы выполнялись следующие равенства

43. . 44. .

45. . 46. .

№№ 47 – 50. Исследовать на непрерывность и найти точки разрыва функций

47. . 48. .

49. . 50. .

51. Показать, что , если .

52. . Показать, что какой бы ни была дифференцируемая функция .

53. Доказать, что выражение для плоской волны, которая распространяется вдоль оси OX, является решением волнового уравнения , где - фазовая скорость.

54. Показать, что , если .

55. Уравнения движения материальной точки . С какой скоростью увеличивается расстояние от этой точки до начала координат?

№№ 56 – 59. Найти производные первого и второго порядков от сложных функций

56. . 57. .

58. . 59. .

60. Найти и , если .

№№ 61 – 64. Найти полные дифференциалы первого и второго порядков от следующих функций

61. . 62. .

63. . 64. .

65. Как изменится диагональ прямоугольного параллелепипеда со сторонами 11 см, 10 см, 2 см, если и уменьшить на 2 мм, а сторону увеличить на 3 мм?

66. Центральный угол сектора изменился на . Как нужно уменьшить радиус сектора 10 см, чтобы площадь его осталась неизменной?

№№ 67 – 70. Вычислить приближенно значения выражений

67. . 68. .

69. . 70. .

№№ 71 – 74. Найти дифференциалы указанных порядков

71. . 72. .

73. . 74. .

№№ 75 – 78. Найти частные производные и

75. . 76. .

77. . 78. .

79. Найти , , , если , ,

.80. Найти , , , , если .

81. Найти в точке , , если , , .

82. Функция задана уравнением . Показать, что .

№№ 83 – 87. Решить уравнения, введя новые переменные

83. , .

84. , , .

85. , .

86. , , , , .

87. , , , , .

88. Найти размеры конуса наибольшего объема при условии, что площадь его боковой поверхности равна S.

89. Через точку M(a, b, c) провести плоскость, образующую с координатными плоскостями тетраэдр наименьшего объема.

90 На плоскости XOY найти точку M(x,y), сумма квадратов расстояний которой от трех прямых , была бы наименьшей.

91. В эллипсоид вписать прямоугольный параллелепипед наибольшего объема.

92. Найти наибольшую площадь треугольника с заданной стороной и противолежащим углом .

№№ 93 – 96. Исследовать на условный экстремум следующие функции

93. при условии .

94. при условии .

95. при условии , .

96. при условии , .

Дата добавления: 2014-12-27