Типовые математические схемы моделей систем

3.1 Динамические системы. Дифференциальные и разностные уравнения

3 .1.1 Системы обыкновенных дифференциальных уравнений

Этот класс моделей хорошо описывает поведение реальных детерминированных и стохастических систем с непрерывным состоянием и непрерывным временем переходов, если неизвестные переменные состояния являются функциями одной независимой переменной – времени. Если независимых переменных больше одной, то используется модель в классе уравнений в частных производных. Ими описываются многие физические процессы и явления, развивающиеся во времени ( -схемы).

В общем, виде можно записать:

– уравнение состояния, (1)

– уравнение выхода. (2)

Частным видом таких уравнений являются системы линейных дифференциальных уравнений. Если функции f и являются линейными функциями x и u, то система и модель называются линейными непрерывными. В противном случае – нелинейными непрерывными.

Линейная модель имеет вид:

– уравнения состояния, (3)

– уравнение выхода, (4)

– собственная матрица системы,

– матрица входа,

– матрица выхода,

– вектор состояния,

– вектор входа,

– r 1 вектор выхода.

Если f и не зависят явно от переменной , то систему (модель) называют стационарной, в противном случае – нестационарной.

Для линейных систем (моделей) переходная функция состояния выражается формулой Коши, представляющей решение системы уравнений (3) в виде:

. (5)

В теории управления первый член правой части (5) определяют как свободную составляющую вектора состояния, а второй – как вынужденную. Тогда получим:

,

где:

– общее решение однородной системы

,

– частное решение неоднородной системы (3),

– переходная матрица состояний.

Выражение определяет импульсную переходную матрицу.

Физический смысл элементов матрицы переходной функции состояния следует из первого слагаемого в (5). Это реакция в момент по – ой составляющей вектора состояний на начальное условие в момент по – ой составляющей , равное 1. При этом начальные значения по остальным переменным состояния в момент равны нулю, а входные воздействия на рассматриваемом интервале [ , ] отсутствуют. Так для системы 2-го порядка:

при , ,

, , т.е. и

Физический смысл матрицы следует из второго слагаемого: это реакция по – -ой составляющей выхода в момент на воздействие по – ой составляющей вектора входа в виде единичной – функции в момент при нулевых начальных условиях и отсутствии воздействий по остальным составляющим входного вектора.

, , .

Дата добавления: 2014-12-27