Непрерывно-стохастическая модель. Потоки случайных событий

В системах, которые могут быть описаны в классе - схем, обычно принимают, что переход из состояния в состояние совершается мгновенно, а время перехода связывают с тем, что происходит некоторое событие, которое и определяет момент перехода, а часто и входной сигнал. Последовательность таких событий, происходящих одно за другим в случайные, заранее не известные моменты времени, называют потоком случайных событий. Этот поток определяет получаемую последовательность состояний системы во времени. Если эти состояния случайны, то говорят, что в физической системе происходит случайный или вероятностный процесс с непрерывным временем и дискретным состоянием.

Примерами потоков являются, например, поток обращений к сайту, поток машин на заправку, поток заявок на выполнение тех или иных работ и т.д.

Поток событий называется однородным, если он характеризуется только моментами наступления событий (вызывающие моменты) и задается последовательностью:

(1),

где – момент наступления n-ого события – неотрицательное вещественное число.

Например, если в соответствии с поставленной задачей не требуется различать типы самолетов, приземляющихся в аэропорту, то поток событий приземления можно рассматривать как однородный.

Однородный поток может так же быть задан в виде последовательности промежутков между n-м и (n-1)-м событиями , которые однозначно связаны с последовательностью вызывающих моментов

; , , .

Последовательность - последовательность случайных положительных (неотрицательных) чисел.

Потоком неоднородных событий называется последовательность , где - набор признаков события (например, тип самолета).

Если интервалы ; независимые случайные числа – поток событий называют потоком с ограниченным последействием, или потоком Пальма.

Поток событий называется ординарным, если вероятность того, что на малый интервал времени , примыкающий к моменту t, попадает больше одного события, пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью того, что на этот же интервал времени попадет не более одного события.

Пусть вероятности , , есть вероятности того, что на интервал соответственно событие не попадает, попадает ровно одно событие и попадает более одного события. Это вероятности полной группы несовместных событий. Тогда для ординарного потока можно записать:

; (2)

; (3)

; (4)

где - величина порядка малости, выше т.е.

. (5)

Среднее число событий на интервале есть:

; (6)

т.е. при малых численно равно среднему числу событий на интервале.

Для ординарного потока событий:

, (7)

(если этот предел существует);

называется интенсивностью (плотностью) потока. Физически среднее число событий в единицу времени. Это неотрицательная функция времени, имеющая размерность .

Стационарным потоком событий называется поток, для которого вероятность появления некоторого числа событий на интервале, длинной , зависит лишь от длинны интервала и не зависит от того, где на оси времени взят этот интервал. Для такого потока l=const. (не зависит от времени). Экспериментальной оценкой плотности потока может служить отношение

,

где - число событий, - интервал времени.

Если вероятность наступления событий в полуинтервале не зависит от того, сколько событий наступило в интервале [ ), то поток называют потоком без последействия (с отсутствием последействия).

Простейшим потоком называют стационарный, ординарный поток без последействия.

Пуассоновский поток событий - это ординарный поток без последействия.

Если на числовой оси взять два интервала длинной и , и - числа событий на соответствующих интервалах, то для потока без последействия числа и являются независимыми случайными числами и ; где . Т.е. условная вероятность того, что при условии равна безусловной вероятности того, что .

Пусть - вероятность того, что на отрезке длиной t с началом в момент времени произойдет число событий = . Эта вероятность для пуассоновского потока событий определяется соотношением:

; (8)

где a(t,t)- среднее число событий на рассматриваемом интервале.

. (9)

Если пуассоновский поток – стационарный, то

; (10)

и на участке длительностью t наступит m событий с вероятностью:

; (11)

т.е. простейший поток- это стационарный пуассоновский поток.

Найдем закон распределения интервалов времени между двумя соседними состояниями.

Рис. 1

Вероятность того, что на участке t не будет ни одного события:

; (12)

но .

Тогда функция распределения интервалов времени между событиями будет равна:

; ( >0); (13)

а плотность распределения имеет вид:

. (14)

Таким образом, интервалы времени между событиями в простейшем потоке распределены по закону (14), называемому экспоненциальным или показательным законом плотности распределения вероятностей.

Математическое ожидание и дисперсия интервалов определяются соотношениями:

; (15)

(16)

Если интенсивность высока, то мало. Вообще говоря, если интервалы распределены по одному и тому же закону f(z), поток называют рекуррентным и среднее значение интервала определяется обычной формулой математического ожидания:

. (17)

Используются и другие виды потоков, например регулярный поток, т.е. поток, в котором моменты времени появления событий заранее определены, или потоки Эрланга различных порядков, формируемые на основе “просеивания” простейших потоков.

Так, поток Эрланга к - го порядка – это поток, интервалы между событиями в котором составляют сумму k+1-ой независимых случайных величин, распределенных по показательному закону. Поток есть простейший поток. Потоки Эрланга являются стационарными ординарными потоками с ограниченным последействием.

Главной характеристикой случайного потока является его интенсивность – своеобразная «скорость» появления событий.

Дата добавления: 2014-12-27