Каталоги оптимальных планов

Построение оптимальных планов для произвольных функций отклика представляет сложную задачу. В интересах облегчения решения такой задачи для некоторых типовых функций отклика составлены каталоги оптимальных планов [5, 9].

Рассмотрим некоторые из них для случаев, когда многомерное пространство допустимых значений факторов представляет собой куб или шар.

Соответственно допустимые области значений факторов должны удовлетворять условиям:

для куба –1 <= х_i <= 1, i = 1, 2, …, k;

для шара х ₁² + х ₂² + … + х_k² <= 1.

1. Функция отклика представляет собой полином порядка q одного фактора (k = 1)

y ^' = b₀ + b₁ x + b₂ x ² + … + b _q x ^q, q = 1, 2, ….

Примеры А -оптимальных планов представлены в табл. 5.6, D- оптимальных планов – в табл. 5.7. Соблюдение свойства оптимальности планов требует выполнения определенных соотношений по количеству реализаций в каждой точке плана. Это соотношение задается значением веса w_j. Например, значение веса, равное 0,152, означает, что в соответствующей точке плана в ходе исследования следует провести 0,152-ю часть всех опытов. Для A -оптимальных планов веса точек различны, для D -оптимальных планов веса всех точек одинаковы.

Таблица 5.6

Степень поли-нома, q	Значения фактора х / вес точки плана w
x (1) / w 1	x (2) / w 2	x (3) / w 3	x (4) / w 4	x (5) / w 5
	–1,0 / 0,25	0,0 / 0,5	1,0 / 0,25	–	–
	–1,0 / 0,152	–0,468 / 0,348	0,468 / 0,348	1,0 / 0,152	–
	–1,0 / 0,107	–0,683 / 0,25	0,0 / 0,286	0,683 / 0,25	1,0 / 0,107

Таблица 5.7

Степень поли-нома, q	Значения фактора х
x (1)	x (2)	x (3)	x (4)	x (5)
	–1,0	0,0	1,0	–	–
	–1,0	–0,447	0,447	1,0	–
	–1,0	–0,655	0,0	0,655	1,0

2. Выше были рассмотрены композиционные планы для оценки коэффициентов полной квадратичной функции (5.1) от k факторов. Кроме них существуют оптимальные планы на кубе, которые предусматривают выбор множеств точек с целочисленными координатами:

точку в центре куба (множество М ₀). Все координаты равны нулю;

множество точек М_k, соответствующих вершинам куба. Все координаты равны ±1. Количество точек 2 ^k;

множество М_{k – 1} середин ребер (все координаты равны ±1, за исключением одной нулевой координаты). Количество точек k× 2 ^{k – 1};

множество центров граней размерности k – l (l координат равно нулю). Количество точек равно С_k^{k – l} 2 ^{k – l}, l = 2, 3, …, k – 1.

В табл. 5.8 приведены веса множества М_j, j = 0, 1, 2, …, k для различного количества факторов. Для получения веса конкретной точки плана следует вес соответствующего множества разделить на количество точек в множестве. Как видно из табл. 5.8, каждый фактор варьируется на трех уровнях, и не все сочетания множеств допустимы для конкретного типа плана.

Пример 5.5.1. Составить D -оптимальный план для k = 3.

Решение.

План представлен в табл. 5.9. План включает: точку с нулевыми координатами; двенадцать точек, соответствующих центрам ребер трехмерного куба; восемь точек, соответствующих вершинам куба. Этот план не включает точки, соответствующие центрам граней трехмерного куба.

Таблица 5.8

Крите-рий опти-мальнос-ти плана	Коли-чество перемен-ных, k	Множество точек плана
М 0	М 1	М 2	М 3	М 4	М 5	М 6
D		0,0962	0,3206	0,5832	-	-	-	-
	0,0655	-	0,4242	0,5103	-	-	-
	0,0474	-	-	0,5021	0,4506	-	-
	0,0368	-	-	-	0,5622	0,4021	-
	0,0216	-	-	-	-	0,6097	0,3297
A		0,376	0,391	0,233	-	-	-	-
	0,425	-	0,569	0,060	-	-	-
	0,370	-	0,552	-	0,078	-	-
	0,427	-	0,573	-	-	-	-
	0,404	-	-	0,556	-	0,040	-

Таблица 5.9

№ пп	х 1	х 2	х 3	Характеристика множества
				Множество М 0. Вес точки wj = 0,0655
	+ 1	+ 1		Множество М 2. Суммарный вес точек множества 0,4242. Количество точек 2× k ×(k – 1). Вес одной точки wj = 0,4242 / 12 = 0,0353
	– 1	+ 1
	+ 1	– 1
	– 1	– 1
	+ 1		+ 1
	– 1		+ 1
	+ 1		– 1
	– 1		– 1
		+ 1	+ 1
		– 1	+ 1
		+ 1	– 1
		– 1	– 1
	+ 1	+ 1	+ 1	Множество М 3. Суммарный вес точек множества 0,5103. Количество точек 2^× k = 8. Вес одной точки wj = 0,5103/ 8 = 0,0638
	– 1	+ 1	+ 1
	+ 1	– 1	+ 1
	– 1	– 1	+ 1
	+ 1	+ 1	– 1
	– 1	+ 1	– 1
	+ 1	– 1	– 1
	– 1	– 1	– 1

3. Оптимальные планы на шаре единичного радиуса для построения полных квадратичных моделей включают следующие множества точек:

точку в центре шара (множество М ₀). Все координаты равны нулю;

множество М ₁ точек с координатами (±1, 0, …, 0), …., (0, 0, …, ±1). Это множество содержит 2 k точек;

множество М ₂ точек, соответствующих вершинам вписанного в шар многомерного куба. Координаты вершин куба принимают значения ± k ^1/2. Количество вершин куба равно 2 ^k.

В табл. 5.10 приведены веса множества М_j, j = 0, 1, 2 для различного количества факторов k. Расчет веса конкретной точки плана производится делением веса соответствующего множества на количество точек в множестве. Как видно из табл. 5.10, каждый фактор варьируется на пяти уровнях.

Таблица 5.10

Крите-рий оптималь-ности	Коли-чество факторов, k	Множество точек
М 0	М 1	М 2
A		0,2918	0,2932	0,4148
	0,1924	0,2586	0,5488
	0,1377	0,2256	0,6368
	0,1044	0,2000	0,6976
	0,0825	0,1750	0,7425
D		0,1667	0,4167	0,4167
	0,1000	0,3600	0,5400
	0,0667	0,3111	0,6222
	0,0476	0,2721	0,6803
	0,0357	0,2411	0,7232

Пример 5.5.2. Составить D -оптимальный план на шаре для k = 3.

Решение.

D- оптимальный план имеет матрицу планирования для основных переменных, представленную в табл. 5.11. Количество точек плана равно 15, каждый фактор варьируется на пяти уровнях.

По своим параметрам представленный план во многом аналогичен центральному композиционному плану Бокса. Отличие заключается в величине радиуса гиперсферы – он равен единице (в ЦКП Бокса радиусы превышают единичное значение). План на шаре более экономичен по сравнению с планом на кубе по количеству точек (аналогичный план на кубе содержит 21 точку), но вместо трех уровней варьирования фактора предполагает пять уровней.

Таблица 5.11

№ пп	Фактор	Вес точки плана	Примечание
х 1	х 2	х 3
				0,1000	Множество М 0
				0,0600	Множество М 1. Суммарный вес 0,3600. Количество точек 6.
	– 1			0,0600
				0,0600
		– 1		0,0600
				0,0600
			– 1	0,0600
	3^– 1/2	3^– 1/2	3^– 1/2	0,0675	Множествыо М 2. Суммарный вес 0,5400. Количество точек 8.
	– 3^– 1/2	3^– 1/2	3^– 1/2	0,0675
	3^– 1/2	–3^– 1/2	3^– 1/2	0,0675
	– 3^– 1/2	– 3^– 1/2	3^– 1/2	0,0675
	3^– 1/2	3^– 1/2	– 3^– 1/2	0,0675
	– 3^– 1/2	3^– 1/2	– 3^– 1/2	0,0675
	3^– 1/2	– 3^– 1/2	– 3^– 1/2	0,0675
	– 3^– 1/2	– 3^– 1/2	– 3^– 1/2	0,0675

Дата добавления: 2014-12-27