Определение. Точка О называется полюсом, а луч l – полярной осью

Суть задания какой- либо системы координат на плоскости состоит в том, чтобы каждой точке плоскости поставить в соответствие пару действительных чисел, определяющих положение этой точки на плоскости. В случае полярной системы координат роль этих чисел играют расстояние точки от полюса и угол между полярной осью и радиус– вектором этой точки. Этот угол j называется полярным углом.

М

r

r =

j

l

Можно установить связь между полярной системой координат и декартовой прямоугольной системой, если поместить начало декартовой прямоугольной системы в полюс, а полярную ось направить вдоль положительного направления оси Ох.

Тогда координаты произвольной точки в двух различных системах координат связываются соотношениями:

x = rcosj; y = rsinj; x² + y² = r²

Цилиндрическая и сферическая системы координат.

Как и на плоскости, в пространстве положение любой точки может быть определено тремя координатами в различных системах координат, отличных от декартовой прямоугольной системы. Цилиндрическая и сферическая системы координат являются обобщением для пространства полярной системы координат, которая была подробно рассмотрена выше.

Введем в пространстве точку О и луч l, выходящий из точки О, а также вектор . Через точку О можно провести единственную плоскость, перпендикулярную вектору нормали .

Для введения соответствия между цилиндрической, сферической и декартовой прямоугольной системами координат точку О совмещяют с началом декартовой прямоугольной системы координат, луч l – с положительным направлением оси х, вектор нормали – с осью z.

Цилиндрическая и сферическая системы координат используются в тех случаях, когда уравнение кривой или поверхности в декартовой прямоугольной системе координат выглядят достаточно сложно, и операции с таким уравнением представляются трудоемкими.

Представление уравнений в цилиндрической и сферической системе позволяет значительно упростить вычисления, что будет показано далее.

z

М

r

j h

0 q x

r

M₁

y

ОМ₁ = r; MM₁ = h;

Если из точки М опустить перпендикуляр ММ₁ на плоскость, то точка М₁ будет иметь на плоскости полярные координаты (r, q).

Определение. Цилиндрическими координатами точки М называются числа (r, q, h), которые определяют положение точки М в пространстве.

Определение. Сферическими координатами точки М называются числа (r,j,q), где j - угол между r и нормалью.

Связь цилиндрической и декартовой прямоугольной

системами координат.

Аналогично полярной системе координат на плоскости можно записать соотношения, связывающие между собой различные системы координат в пространстве. Для цилиндрической и декартовой прямоугольной систем эти соотношения имеют вид:

h = z; x = rcosq; y = rsinq; cosq = ; sinq = .

Дата добавления: 2014-12-27