Предмет и задачи математической статистики

Часть 3. Элементы математической статистики

Глава 6. Статистические оценки параметров распределения

Математическая статистика возникла в XVII в. и развивалась параллельно с теорией вероятностей. Большой вклад в развитие математической статистики внесли российские ученые в XIX в. – начале XX в.: в первую очередь П.Л. Чебышев, А.А. Марков, А.М. Ляпунов, а также учёные других стран – К. Гаусс, К. Пирсон, Ф. Гальтон и т.д.

В XX в. существенный вклад в развитие математической статистики был сделан советскими математиками, в частности, А.Н. Колмогоровым, В.И. Романовским, Е.Е. Слуцким, Н.В.Смирновым, а также английскими – Стьюдентом, Р. Фишером, Э. Пирсоном и американскими учёными – Ю. Нейманом, А. Вальдом и др.

Теория вероятностей изучает математические модели случайных явлений, при этом сама математическая модель считается заданной. В задачах теории вероятностей исходят из того, что задано вероятностное пространство, множество элементарных исходов и вероятность любого события.

Так, например, если изучается некоторое случайное событие А, то известно Р(А). Если же речь идёт о случайной величине Х, то известен закон распределения вероятностей в какой-либо форме и, как следствие, числовые характеристики исследуемой случайной величины.

В практических задачах эти характеристики, как правило, неизвестны, но имеются некоторые экспериментальные данные о событии или случайной величине. Требуется на основании этих данных построить подходящую вероятностную модель изучаемого явления, то есть приближённо оценить неизвестные закон распределения и числовые характеристики исследуемой случайной величины на основе экспериментальных данных. Это и является задачей математической статистики. В математической статистике единственный объект это данные эксперимента. Результаты эксперимента выражаются значениями некоторой случайной величины.

В теории вероятностей вероятностное пространство задано и требуется предсказать возможное поведение случайной величины. В математической статистике наоборот, известны лишь результаты (значения случайной величины), по которым восстанавливается вероятностное пространство. По экспериментальным данным строится вероятностная модель явления, соответствующая этим данным, т.е. интерпретация данных.

Математической статистикой называется наука, занимающаяся методами обработки экспериментальных данных, полученных в результате наблюдений над случайными явлениями. Первая задача математической статистики: указать способы сбора и группировки статистических данных, полученных в результате экспериментов. Вторая задача математической статистики: разработать методы анализа статистических данных.

Ко второй задаче относятся:

1. Оценка неизвестных параметров (вероятности события, функции распределения и её параметров и т.д.) с построением доверительных интервалов (методы оценивания).
2. Проверка статистических гипотез о виде неизвестного распределения и параметров распределения (методы проверки гипотез).

При этом решаются следующие в порядке сложности и важности задачи:

• Описание явлений, то есть, упорядочение поступившего статистического материала, представление его в наиболее удобном для обозрения и анализа виде (таблицы, графики).
• Анализ и прогноз, то есть приближённая оценка характеристик на основании статистических данных. Например, приближённая оценка математического ожидания и дисперсии наблюдаемой случайной величины и определение погрешностей этих оценок.
• Выработка оптимальных решений. Например, определение числа опытов n, достаточного для того, чтобы ошибка от замены теоретических числовых характеристик их экспериментальными оценками не превышала заданного значения. В связи с этим возникает задача проверки правдоподобия гипотез о параметрах распределения и о законах распределения случайной величины, решением которой является возможность сделать один из выводов:

– отбросить гипотезу, как противоречащую опытным данным;

– принять гипотезу, считать ее приемлемой.

Математическая статистика помогает экспериментатору лучше разобраться в опытных данных, полученных в результате наблюдений над случайными явлениями; оценить, значимы или не значимы наблюдаемые факты; принять или отбросить те или иные гипотезы о природе случайных явлений.

Дата добавления: 2014-12-27