Полиномиальные формулы

Численное дифференцирование

Численное дифференцирование применяется, если функцию y(x) трудно или невозможно продифференцировать аналитически, например, если она задана таблично. Оно используется также при решении дифференциальных уравнений.

Пусть функция y(x) задана таблично на произвольной сетке . Требуется вычислить производную . Для решения этой задачи сначала аппроксимируем функцию y(x)»j(х), а затем вычисляют нужную производную . Проще всего воспользоваться интерполяционной формулой Ньютона. Если ввести обозначения , то

... (1)

Полученные полиномиальные формулы (1) показывают, что порядок точности интерполяции функции равен числу используемых узлов, но каждое дифференцирование понижает его на единицу. Погрешность вычисления производной оценивается апостериорно, аналогично оценке погрешности интерполяции.

Вычисление производных посредством сплайновой интерполяции дает хорошие результаты для тех производных, которые непрерывны для данного сплайна.

Если табулирована не только функция, но и ее производные, то для вычисления производных следует использовать интерполяционный многочлен Эрмита, что значительно точнее формул (1) при одинаковом числе узлов.

Дата добавления: 2014-12-27