Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Следствие p-теоремы




Формулировка p-теоремы

Если общая функциональная зависимость вида (1) связывает n размерных величин, которые выражают через m основных единиц в системе СИ, то эта зависимость может быть сведена к уравнению подобия (2), содержащему i безразмерных величин

i = nm, (4)

 

где i — число безразмерных величин;

n — число физических величин в (1);

m — число основных единиц в системе СИ, через
которые выражены эти величины.

 

Таблица 1

Основные первичные физические величины, символы,

размерности и единицы СИ

Величина Единица СИ
Наименование Обозна-чение Раз-мерность Наимено-вание Обозначение
Между-нар. На рус. яз.
Время t T секунда s c
Длина l L метр m м
Кол-во вещества n N моль mol моль
Масса m M килограмм kg кг
Сила света J J канделла kd кд
Сила эл. тока I I ампер А А
  Температура Т Θ кельвин К К

Если среди n физических величин в зависимости (1) имеется q неоднородных величин (т. е. величин с неоднородными размерностями), то количество симплексов S составляет

S = n – q, (5)

 

а количество комплексов К составляет

K = qm. (6)

Здесь, как и в (4), m — количество основных единиц в системе СИ, установленной в настоящее время для научно-технической документации. Основные (независимые) единицы системы СИ приведены в табл. 1.

В отличие от основных, производные единицы системы СИ — это единицы производных величин, определяемые по уравнениям связи с единицами других величин.

Определим единицу измерения динамического коэффициента вязкости m, выразив его размерность сначала через производные, а затем основные единицы СИ:

[m] = Па·с = (H·м 2)·с = ((кг·м·с 2)·м 2)·с = кг·м–1·с–1.

 

Задача

Условие

Определить потери D Р давления на преодоление сопротивления трению изотермическим (Т = const) потоком вязкой несжимаемой жидкости в условиях установившегося ламинарного режима течения в круглой прямой горизонтальной трубе диаметром d на участке длиной l, если функциональная зависимость (1) имеет вид

D Р = D Р (m, w, d, l), (7)

где w — скорость потока.

Решение

1) Считаем количество n физических величин в зависимости (7).

n = 5.

2) Определяем количество основных единиц СИ, через
которые выражены эти величины, для чего выпишем формулы размерности каждой из величин в зависимости (7)

[D Р ] = Па = Н·м 2 = (кг·м·с 2)·м 2 = кг·м 1·с 2 =

= [М·L 1·T 2 ];

[m] = [M L 1 T 1];

[ w ] = м·с 1 = [L·T 1];

[ d ] = м = [L];

[ l ] = м = [L].

Следовательно, m = 3 (кг, м, с);

3) Определяем количество q величин с неодинаковой размерностью

q = 4, это D P, m, w, d.

4) Находим (4) ― число инвариантов в искомом уравнении подобия

i = n – m = 5 3 = 2.

В том числе:

количество симплексов согласно (5)

S = n – q = 5 4 = 1;

количество комплексов согласно (6)

K = q – m = 4 3 = 1.

5) Представим функциональную зависимость (7) в виде степенного уравнения

D Р = А m BwCdD lE. (8)

6) Подставим формулы размерности физических величин
в степенное уравнение (8)

[ M.L–1.T–2 ] = A [ M.L–1.T–1 ] B. [ L.T–1 ] C. [ L ] D .[ L ] E. (9)

Раскрывая скобки в правой части последнего уравнения,
получим

[ M.L–1.T–2 ] = A MB.L–B+C+D+E.T–B–C. (10)

Поскольку А — безразмерный коэффициент, а размерности основных величин независимы, то для того чтобы полученное равенство удовлетворялось, необходимо равенство показателей степеней при одних и тех же единицах измерения в левой и правой частях уравнения (10).

Следовательно, для показателей степеней размерностей основных величин получим систему уравнений

 
 


[ M ] 1 = 1· B

[ L ] 1 = ( 1)· B + 1· C + D + E (11)

[ T ] 2 = ( 1)· B + ( 1)· C

Решая полученную систему уравнений (11), определяем значения показателей степеней

B = 1

C = 2 – B = 1

D = 1 + B – C – E = 1 E.

6) Подставив в (8) эти значения показателей степеней,

получим

DР = A m w d –1 d E lE = A () E (12)

или в соответствии с (2)

p1 (D Р) = А p2 E,

где p1 = , p2 = = Г.

Зависимость из пяти физических величин приведена к зависимости безразмерных комплекса и симплекса. Полученный составной комплекс, состоит из произведения хорошо известных критериев подобия: Re и Eu.

С учетом этого критериальное уравнение имеет следующий вид:

Eu = A Re–1 ГЕ (13)

π-теорема позволила получить наиболее рациональную форму обработки экспериментальных данных. Она позволила сгруппировать параметры и привести функциональную зависимость к безразмерному виду, тем самым снизив размерность задачи.

Последующая работа состоит в определении значений показателей степеней и безразмерного коэффициента А, которые находятся на основании опытных данных, как правило, экспериментально-статистическими методами.

 

Список рекомендуемой литературы

 

1. Алабужев П.М., Геронимус В.Б., Минкевич Л.М., Ше ховцов Б.А. /Теории подобия и размерностей. Моделирование/ Алабужев П.М., Геронимус В.Б., Минкевич Л.М., Шеховцов Б.А. —М.:Высшая школа, 1968. —206 с.

2. Романков П.Г., Курочкина М.И. /Гидромеханические
процессы химической технологии/ Романков П.Г., Курочкина М.И. — Л.: Химия, 1974. —288с.

3. Суфиянов Р.Ш., Горбенко О.О. /Элементы системного

анализа: учебное пособие для вузов/ Суфиянов Р.Ш.,

Горбенко О.О ― М.: МГУИЭ, 2009 ― 52 с.

 

Варианты заданий

 

Составить критериальные уравнения, если исходная функциональная зависимость имеет вид:

1. Δ P = f , w, d, l)

2. Δ P = f (ρ, μ, w, d, l)

3. Δ P = f (ρ, μ, w, g, d, l)

4. α = f (w, ρ, μ, λ, d)

5. α = f (w, ρ, μ, λ, c, d)

6. β = f (D, μ, ρ, l)

7. R = f (l, w, ρ, μ, g),

где

 

λ — коэффициент теплопроводности, Дж×м–1×с–1×град–1,

Вт×м–1×К–1;

α — коэффициент теплоотдачи, Вт×м–2×К–1;

c — удельная теплоёмкость, Дж×кг–1×К–1;

μ — коэффициент динамической вязкости, Па×с;

ρ — плотность, кг×м–3;

β — коэффициент массоотдачи, м×с–1;

D — коэффициент диффузии, м2×с–1;

g — ускорение свободного падения, м×с–2;

R — сила сопротивления, Н.

Число Прандтля ,

число Нуссельта ,

число Фруда ,

 

диффузионное число Нуссельта

диффузионное число Прандтля




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-12-27; Просмотров: 468; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.02 сек.