Лекция 18. Неопределенный интеграл и его свойства

ТАБЛИЦА ОСНОВНЫХ ИНТЕГРАЛОВ

План:

11. Понятие неопределенного интеграла.

12. Основные свойства неопределенного интеграла.

13. Таблица основных интегралов.

1. Понятие неопределенного интеграла

Напомним, что основная задача дифференциального исчисления заключается в следующем: по данной функции f(x) требуется найти её производную. Для дифференцирования существует обратная операция: нахождение первоначальной функции F(x) по известной производной f(x). Эта операция получила название интегрирование (от лат. integratio – восстановление).

Так, попытаемся по известной производной восстановить первоначальную функцию. Она будет иметь вид: y=х³. Обозначим известную функцию f(x) (в нашем примере f(x)=3х²), а первоначальную функцию F(x) (в нашем примере F(x)=х³). Функцию F(x) назовем первообразной данной функции f(x).

Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на интервале (а;b), если для всех x из этого промежутка справедливо равенство:

F'(x) = f(x), или, что то же самое, dF(x)= f(x)dx.

Пример 18.1. Найдите какую-либо первообразную для функции f(x)= .

Решение. Функция F(x) = lnx является первообразной для f(x)= , т.к. F'(x)=(lnx) ' = = = f(x).

Нетрудно заметить, что первообразная lnx не является единственной для функции f(x)= . В самом деле, в качестве первообразной можно было взять и функции lnx +3, lnx -7 и вообще lnx + С, где С - произвольная постоянная, потому что (lnx + С) ' = .

Приведём формулировку теоремы, выражающей основное свойство первообразных.

Теорема 1. Если функция F(x) есть первообразная для функции f(x) на некотором промежутке (а;b), то множество всех первообразных для f(x) задается формулой: F(x) + C, где С – константа.

Множество всех первообразных для функции f(x) называется неопределённым интегралом от функции f(x) и обозначается символом (читается: «интеграл от эф от икс де икс»).

Таким образом, по определению = F(x) + C.

Функция f(x) называется подынтегральной функцией,

f(x)dx – подынтегральным выражением,

х - переменной интегрирования,

символ знаком неопределённого интеграла.

Пример 18.2. Найдите .

Решение. Т.к. cosx = (sinx) ', то функция F(x)= sinx является одной из первообразных для функции f(x) = cosx. Поэтому = sinx+С.

Геометрически неопределённый интеграл представляет собой семейство кривых, каждая из которых получается из любой другой параллельным переносом вдоль оси Oy ( рис. 18.1). График каждой первообразной называется интегральной кривой.

Встает вопрос: для всякой ли функции существует неопределенный интеграл? Справедлива следующая теорема:

Теорема 2. Всякая непрерывная на (а;b) функция имеет на этом промежутке первообразную, а следовательно, и неопределённый интеграл.

1. Основные свойства неопределенного интеграла

Отметим ряд свойств неопределенного интеграла, вытекающих непосредственно из определения.

1. Производная неопределённого интеграла равна подынтегральной функции: .

Докажем это свойство: = (F(x) + C) ' = F'(x) = f(x).

Благодаря данному свойству правильность интегрирования проверяют дифференцированием.

Пример 18.3. Докажите справедливость равенства: .

Решение. Воспользуемся свойством 1: найдем производную неопределенного интеграла. , что совпадает с подынтегральным выражением. Следовательно, интеграл найден верно.

2. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению: = d (F(x) + C) ' = F'(x) dx = f(x) dx.

3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс константа С: .

Рассмотрим ещё два свойства неопределённого интеграла, которые значительно расширяют возможности интегрирования.

4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е. если k- const, k 0, то

. (6)

5. Неопределённый интеграл от алгебраической суммы двух непрерывных функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций:

.

1. Таблица основных неопределенных интегралов

Пользуясь тем, что интегрирование есть операция, обратная дифференцированию, можно получить следующую таблицу неопределенных интегралов:

1. 2. 3. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13.

4. 5. 6. 14. 15. , а – const 16. 17. 18. 19.

В справедливости этих формул, получивших название табличных интегралов, можно убедиться, как и в примере 18.3, с помощью дифференцирования. Производная правой части должна быть равна подынтегральной функции.

Контрольные вопросы:

1. Какая операция является обратной для операции дифференцирования? В чем сущность этой операции?
2. Что называют первообразной функции f(x)?
3. Сколько у функции существует первообразных?
4. Что называют неопределенным интегралом от функции f(x)?
5. Каков геометрический смысл неопределенного интеграла?
6. Перечислите основные свойства неопределенного интеграла.
7. Как проверить правильность нахождения интеграла?

Дата добавления: 2014-12-27