Определенного интеграла

Лекция 22. МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ

План:

1. Применение формулы Ньютона-Лейбница.

2. Интегрирование подстановкой (заменой переменной).

3. Интегрирование по частям.

1. Применение формулы Ньютона-Лейбница.

Простым и удобным методом вычисления определенного интеграла от непрерывной функции является формула Ньютона-Лейбница: = . Этот метод применяется во всех случаях, когда может быть найдена первообразная F(х) для подынтегральной функции f(х).

Пример 22.1. Вычислите .

Решение. Сначала найдем неопределенный интеграл от заданной функции как интеграл от некоторой сложной функции, добавив границы интегрирования: = .

Подставим сначала верхнюю, потом нижнюю границы интегрирования: = = - = - = + =2∙1+ = .

Ответ: = .

1. Интегрирование подстановкой (заменой переменной).

При вычислении определенных интегралов широко используется метод замены переменной. Пусть требуется вычислить интеграл от сложной функции . Как и для неопределенного интеграла, сделаем подстановку u=g(х). Тогда . Эта формула называется формулой замены переменной в определенном интеграле.

Алгоритм вычисления определенных интегралов методом замены переменной практически не отличается от алгоритма метода замены переменной для неопределенных интегралов (лекция 19). Отметим два принципиальных различия:

1. В определенном интеграле обязательной является смена границ интегрирования. Новая нижняя граница интегрирования будет равна u₁ = g(а), а новая верхняя граница u₂ = g(b).

2. При вычислении определенного интеграла методом подстановки возвращаться к старой переменной не требуется.

Рассмотрим применение метода замены переменной в определенном интеграле.

Пример 22.2. Вычислите .

Решение. 1. Выполним подстановку u= 1 -cosx с целью прийти к интегралу от функции f(u) = .

2. Найдем du по формуле du=и'dx: du=( 1 -cosx)'dx =sinxdx.

3. Выразим dx из выражения пункта 2 (du=sinxdx): .

4. Подставим и и dx в исходный интеграл (пока неопределенный): = . Видим, что sinх можно сократить и прийти к интегралу относительно переменной и: .

5. Вычислим новые границы интегрирования для переменной и. Для этого подставим существующие границы (π, ) в выражение u= 1 -cosx.

Тогда нижняя граница u₁ =1- =1-0=1; верхняя граница u₂ =1- cosπ= 1-(-1)=2.

В результате всех преобразований первоначальный интеграл примет вид: .

6. Вычислим полученный интеграл. По таблице интегралов находим, что = . Воспользуемся свойством 3 определенного интеграла, позволяющим менять границы интегрирования, при этом избавляясь от знака "минус" перед определенным интегралом ( =- ). Тогда = = . Еще раз отметим, что к переменной х после смены границ интегрирования возвращаться не нужно!

Ответ: = .

Пример 22.3. Вычислите .

Решение. 1. Выполним подстановку u=lnx с целью прийти к интегралу от функции f(u) = и².

2. Найдем du по формуле du=и'dx: du=(lnx)'dx = dx.

3. Выразим dx из выражения пункта 2 (du= dx): .

4. Подставим и и dx в исходный интеграл (пока неопределенный): = . Видим, что х можно сократить и прийти к интегралу относительно переменной и: .

5. Вычислим новые границы интегрирования для переменной и. Для этого подставим существующие границы (1, e) в выражение u= lnx.

Тогда нижняя граница u₁ = ln1= 0; верхняя граница u₂ = lne= 1.

В результате всех преобразований первоначальный интеграл примет вид: .

6. Вычислим полученный интеграл: = ==1³-0=1.

Ответ: =1.

Дата добавления: 2014-12-27