Вычисление длины дуги плоской кривой и объема тел вращения

Рассмотрим функцию y=f(x), непрерывную на отрезке [ a;b ]. С помощью метода сумм (лекция 21) выводятся две важные формулы:

1. Длина дуги l кривой АВ, заданной на отрезке [ a;b ] (рис. 23.6) при условии непрерывности f`(x), выражается формулой: .

Пример 23.3. Найдите длину дуги линии от точки А (0; 0) до точки В (1; 1).

Решение. Для вычисления длины дуги l воспользуемся формулой: .

В качестве f(x) берем функцию f(x)= , а =0, b =1 (рис. 23.7). Тогда f`(x)= = , и = . Представим квадратный корень в виде степени: = . Вычислим данный интеграла как интеграл от некоторой сложной функции: = = = = = - = = = Ответ: l = .

2. Объем тела вращения, полученного вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции y=f(x), отрезком [ a;b ], прямыми х=а и х = b (рис. 23.8), выражается формулой: .

Объем тела вращения, полученного вращением вокруг оси Оу криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной функции х=φ(у)≥0, прямыми у=с, у = d, х= 0 (рис. 23.9), выражается формулой: .

Пример 23.4. Найдите объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной графиком функции , осью Ох, прямой х =1.

Решение. Построим фигуру, ограниченную графиком функции , осью Ох, прямой х =1 (на рис. 23.10 обозначена штриховкой). При ее вращении вокруг оси Ох получаем тело вращения (рис. 23.10). Для вычисления его объема воспользуемся формулой: .

В нашем примере а= 0, b= 1, . Тогда = = = = = . Ответ: .

Контрольные вопросы:

1. В чем заключается геометрический смысл определенного интеграла?
2. Какие основные виды фигур, площадь которых вычисляется с помощью определенного интеграла, существуют?
3. Как найти длину дуги плоской кривой?
4. Приведите формулы для расчета объемов тел, полученных вращением фигур вокруг осей Ох и Оу.

Дата добавления: 2014-12-27