ВВЕДЕНИЕ. Перед Вами третья часть курса лекций по дисциплине «Математика (Элементы высшей математики)»

Перед Вами третья часть курса лекций по дисциплине «Математика (Элементы высшей математики)».

Цель данного курса лекций: помочь студентам преодолеть трудности, связанные с изучением основ высшей математики, показать сферы приложения теоретических знаний к решению задач. Теоретический материал в пособии изложен простым, доступным, но по возможности строгим языком. Приведен план каждой лекции, который поможет студенту видеть структуру изучаемого материала, а при подготовке к экзамену продумать план своего ответа на каждый экзаменационный вопрос.

Все математические понятия, формулы и теоремы подчеркнуты, выделены жирным шрифтом или курсивом. Изложение теоретического материала по всем темам сопровождается рассмотрением примеров и разбором решения ключевых задач. Всё это дает возможность студенту, пропустившему лекцию, разобраться в изучаемом материале за ограниченное число дней.

Для лучшего понимания и усвоения материала в работе приводятся рисунки, схемы, таблицы. Благодаря им обучение становится более наглядным и доступным. В конце каждой лекции даны контрольные вопросы, позволяющие студенту оценить степень сформированности своих знаний.

При решении задач из раздела "Численные методы" приходится выполнять достаточно сложные и громоздкие расчеты. Чтобы избежать трудностей, а также применить знания, полученные при изучении специальных дисциплин, автор предлагает все расчеты выполнять в электронных таблицах Microsoft Excel.

Каждая глава курса лекций содержит краткий экскурс в историю возникновения изучаемого раздела математики. В приложении приведены основные справочные материалы, включающие в себя все важнейшие формулы из рассматриваемых разделов курса.

Третья часть курса лекций включает в себя материал к трем разделам дисциплины «Математика (Элементы высшей математики)»:

· основы математического анализа:

Ø обыкновенные дифференциальные уравнения;

· основы теории комплексных чисел;

· численные методы.

Курс лекций разработан в соответствии с рабочей и примерной программами для специальностей 230103 «Автоматизированные системы обработки информации и управления» (по отраслям), 230106 «Техническое обслуживание средств вычислительной техники и компьютерных сетей».

Данный курс лекций может быть использован преподавателями математики при подготовке и проведении занятий, а также студентами колледжа при самостоятельном изучении материала.

ГЛАВА 3.7. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Различные проблемы, занимавшие математиков в конце XVII и начале XVIII столетий, привели к необходимости введения такого понятия как дифференциальные уравнения. Поскольку в дифференциальных уравнениях присутствуют производные или дифференциалы функций, то первые дифференциальные уравнения появились в работах создателей интегрального и дифференциального исчисления Исаака Ньютона (1643-1727) и Готфрида Лейбница (1646-1716). Именно Ньютон в 1687 году в своих «Началах» решил дифференциальное уравнение первого порядка.

Проблемой решения дифференциальных уравнений были заняты многие математики того времени. Особо следует отметить Иоганна (1667–1748) и Якоба (1654–1705) Бернулли, предложивших решение дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными, однородных и линейных. Но все применявшиеся ими методы по большинству были разрозненными, единой стройной теории дифференциальных уравнений не существовало.

Методическая разработка теории дифференциальных уравнений была начата известным математиком Леонардом Эйлером (1707-1783). Вместе с ним большой вклад в развитие методов решения дифференциальных уравнений внесли французские математики Жан Даламбер (1717-1783), Жозеф Лагранж (1736-1813), Пьер Лаплас (1749-1827), немецкий математик Бернхард Риман (1826-1866). Самое главное заключается в том, что решение подобных уравнений было необходимо для практических нужд, поскольку именно присутствующая в дифференциальных уравнениях производная описывает скорость изменения различных процессов. Некоторые виды дифференциальных уравнений появились при решении задач о колеблющихся струне и колеблющейся мембране. Даламбер сформулировал правила составления дифференциальных уравнений при движении материальных систем. Дифференциальные уравнения стали основой работ Леонарда Эйлера «Физическое исследование причины морских приливов и отливов», «Исследования по вопросу о неравенствах в движении Сатурна и Юпитера», «Исследование возмущений, которые испытывает движение планет от их взаимодействия».

Нельзя не сказать о вкладе французского математика Огюстена Коши (1789-1857) в теорию дифференциальных уравнений. Он впервые поставил общую задачу о нахождении решения дифференциального уравнения с заданными начальными условиями (называемую с тех пор задачей Коши), дал способ интегрирования дифференциальных уравнений в частных производных.

Известными авторами фундаментальных трудов по дифференциальным уравнениям являются французкий математик Жак Адамар (1865-1963), российские математики Владимир Игоревич Арнольд (род. 1937 г.), Андрей Николаевич Колмогоров (1903-1987).

Лекция 38. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ:

Дата добавления: 2014-12-27