Понятие мнимой единицы

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ

Лекция 42. АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ФОРМА КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА.

План:

1. Понятие мнимой единицы.

2. Алгебраическая форма комплексного числа.

3. Действия над комплексными числами в алгебраической форме.

4. Решение квадратных уравнений с отрицательным дискриминантом.

5. Геометрическая интерпретация комплексных чисел.

Допустим, что существует такое число, квадрат которого равен -1. Обозначим его буквой i (от фран. imaginaire – мнимый) и будем называть мнимой единицей. Таким образом, , а .

Введение мнимой единицы позволяет нам теперь извлекать квадратные корни даже из отрицательных чисел. Например, .

Рассмотрим степени мнимой единицы:

;	;
;	;
;	;
;	; …

Легко заметить, что значения степеней числа i повторяются с периодом, равным четырем. Тогда для нахождения любой натуральной степени числа i можно использовать следующие формулы ():

;

;

;

.

Пример 42.1. Вычислить: .

Решение. Рассмотрим каждое слагаемое в отдельности.

= 1 (если показатель степени числа i разделился на 4 без остатка, т.е. 28=4·7, то применяем формулу );

(по формуле , в нашем случае );

(по формуле , в нашем случае );

(по формуле , в нашем случае ).

Тогда = .

Ответ: = 0.

Дата добавления: 2014-12-27