Действия над комплексными числами в алгебраической форме

В алгебраической форме над комплексными числами удобно выполнять следующие операции:

· сложение;

· вычитание;

· умножение;

· деление.

Сложение, вычитание и умножение комплексных чисел производят по правилам соответствующих действий над многочленами.

Пример 42.2. Для комплексных чисел и найти: а) ; б) ; в) .

Решение. а) = + =

Действительную часть комплексного числа будем складывать с действительной частью, мнимую – с мнимой: = = .

При сложении двух комплексных чисел в алгебраической форме получили комплексное число также в алгебраической форме.

б) = - = = = - комплексное число в алгебраической форме.

в) = ∙ = = = = = - комплексное число в алгебраической форме.

Ответ: а) = ; б) = ; в) = .

Для того чтобы ввести операцию деления для комплексных чисел, заданных в алгебраической форме, введем понятие сопряженных чисел.

Два комплексных числа называются сопряженными, если они отличаются друг от друга только знаками перед мнимой частью.

Например, числа и - сопряженные, и - также сопряженные.

Найдем произведение любых двух сопряженных чисел, например и : . Видим, что произведение двух сопряженных комплексных чисел равно числу действительному. Это свойство сопряженных чисел используется для деления комплексных чисел в алгебраической форме.

Чтобы выполнить деление комплексных чисел в алгебраической форме, необходимо домножить числитель и знаменатель дроби на число, сопряженное знаменателю. Рассмотрим операцию деления комплексных чисел на конкретном примере:

Пример 42.3. Для комплексных чисел и найти .

Решение. = . Домножим числитель и знаменатель дроби на число , сопряженное знаменателю: = = = = = = = = - комплексное число в алгебраической форме.

Ответ: = .

Подчеркнем, что при сложении, вычитании, умножении и делении комплексных чисел в алгебраической форме в результате всегда получается комплексное число также в алгебраической форме.

Дата добавления: 2014-12-27