Извлечение корня п-й степени

Возведение в степень.

Деление.

Умножение.

∙ = ∙ =

= =

=

Применим формулы сложения: ;

.

Получим, что (1).

Итак, при умножении комплексных чисел в тригонометрической форме их модули перемножаются, а аргументы складываются.

Примем без вывода следующую формулу: (2).

При делении комплексных чисел в тригонометрической форме их модули делятся, а аргументы вычитаются.

Для возведения комплексного числа в степень п используется формула Муавра: (3).

При возведении в степень комплексного числа в тригонометрической форме модуль числа нужно возвести в п-ю степень, а аргумент умножить на п.

Корнем п -й степени из числа z (, ) называется такое комплексное число u, что . Корень п -й степени из числа z имеет ровно п значений, которые находятся по формуле: (4).

Для нахождения всех п корней необходимо менять значения параметра k, начиная с (первый корень ), затем (второй корень ) и т.д. до (п -й корень ).

Рассмотри, как выполняются операции над комплексными числами в тригонометрической форме на конкретных примерах.

Пример 43.2. Для комплексных чисел , найдите: а) ; б) ; в) ; г) .

Решение. а) Согласно формуле (1) получим = ∙ = = = .

б) Используя формулу (2), находим = = = .

в) Применяя формулу (3), находим = = .

г) Для извлечения кубического корня из воспользуемся формулой (4): , где параметр k будет принимать значения 0, 1 и 2 (поскольку число корней 3-й степени из числа имеет ровно 3 значения).

При k =0 = = =

= ;

При k =1 = = =

= ;

При k =2 = = =

= .

Ответ: а) = , б) = ,

в) = , г) : = , = , = .

Дата добавления: 2014-12-27