Решение линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами

Дифференциальное уравнение
Характеристическое уравнение
Дискриминант	D>0	D=0	D<0
Корни характеристического уравнения		= k
Общее решение дифференциального уравнения

Рассмотрим решение линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами на конкретных примерах.

Пример 41.3. Решите дифференциальное уравнение: .

Решение. Составим характеристическое уравнение . Найдем его корни. ; существуют два различных корня k ₁ и k ₂.

; или .

Тогда, пользуясь таблицей 41.1, находим общее решение дифференциального уравнения по формуле : .

Ответ: .

Пример 41.4. Решите дифференциальное уравнение: .

Решение. Составим характеристическое уравнение . Найдем его корни. ; существуют два равных корня k ₁ = k ₂ = k.

; .

Тогда, пользуясь таблицей 41.1, находим общее решение дифференциального уравнения по формуле : .

Ответ: .

Пример 41.5. Решите дифференциальное уравнение: .

Решение. Составим характеристическое уравнение . Найдем его корни. ; существуют два комплексных корня k ₁ и k ₂.

; , .

Тогда, пользуясь таблицей 41.1, находим общее решение дифференциального уравнения по формуле :

Ответ: .

Контрольные вопросы:

1. Какой вид имеет простейшее дифференциальное уравнение второго порядка? Как оно решается?
2. Сколько произвольных постоянных содержит общее решение дифференциального уравнения второго порядка?
3. Как определяется в общем виде линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами?
4. Что такое характеристическое уравнение?
5. Какой вид имеет общее решение дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, если корни характеристического уравнения: а) действительные и различные (); б) действительные и равные ( = k); в) комплексные сопряженные ()?

РАЗДЕЛ 4. ОСНОВЫ ТЕОРИИ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ

Введение комплексных чисел было связано с открытием решения кубического уравнения. В середине ХVI века итальянские математики Никколо Тарталья (1499-1557) и Джероламо Кардано (1501-1576) представили миру способ решения уравнения третьей степени. Но один из возможных случаев так и остался для них загадкой. Оказалось, что при выполнении вспомогательных действий рассматриваемая система не имела решений, а исходное уравнение имело действительный корень. На это загадочное явление впервые пролил свет другой итальянский математик Рафаэле Бомбелли (1526-1572).

Бомбелли первым ввел в алгебру мнимые величины. Квадратный корень из отрицательного числа, как заметил Бомбелли, не может быть ни положительным, ни отрицательным числом. Он предложил назвать эти новые "софистические" числа "плюсом из минуса" , когда их нужно складывать, и "минусом из минуса" , когда их нужно вычитать. И тогда у любого кубического уравнения прекрасно отыскивались корни! С этого момента комплексные числа уже нельзя было игнорировать. Бомбелли в своей "Алгебре" (1560, издана 1572) дал первое формальное обоснование действию над комплексными числами. Определение мнимой единицы, данное Бомбелли, за прошедшие 400 лет по свой сути не изменилось, а арифметические действия с ней производятся именно так, как это делала Бомбелли в ХVI веке.

Мнимые числа, введенные Бомбелли, более двух столетий воспринимались лишь как удобные символы. Математики применяли их только в промежуточных выкладках, но для результата использовали лишь "настоящие" – действительные числа. Лейбниц в 1702 году писал: "Мнимые числа – это прекрасное и чудесное убежище божественного духа, почти что сочетание бытия с небытием". Исчерпывающие правила действий с комплексными числами дал в середине ХVIII века русский математик Леонард Эйлер (1707-1783) – один из величайших математиков всех времен и народов. Именно он предложил современное обозначение мнимой единицы – i.

Комплексные числа не были в достаточной мере востребованы математиками еще и потому, что очень трудно было их представить. Наглядно представить мнимые числа попытался еще в ХVII веке английский ученый Джон Валлис (1616-1703), но эти попытки были не слишком удачные. В 1799 году датский математик - землемер Каспар Вессель (1745-1818) предложил простую геометрическую интерпретацию комплексных чисел, однако его работа осталась незамеченной, поскольку Вессель не имел контактов с научными кругами своего времени. Лишь через три десятка лет немецкий математик Карл Фридрих Гаусс (1777-1855) выпустил в свет свой труд "Теория биквадратных вычетов", в котором дал такое же геометрическое представление комплексных чисел, как и Вессель. Именно после опубликования этой работы в 1831 году геометрическое изображение комплексных чисел получило широкую известность и признание. Идея Веселя и Гаусса настолько прозрачна, что остается только удивляться, почему никто из ученых не додумался до нее раньше.

Дата добавления: 2014-12-27