Первого порядка

Лекция 39. ОДНОРОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

План:

1. Понятие однородного дифференциального уравнения первого порядка.

2. Методика решения однородных дифференциальных уравнений первого порядка.

1. Понятие однородного дифференциального уравнения первого порядка

Введем сперва понятие однородной функции: функция называется однородной функцией п-го порядка, если при умножении каждого ее аргумента на произвольный множитель вся функция умножится на λ^п, т.е. .

Пример 39.1. Доказать, что функции и - однородные функции второго порядка.

Решение. Рассмотрим функцию . Подставим в нее вместо х → λх, а вместо у → λу:

= = . Получили, что , следовательно, по определению - однородная функция второго порядка.

Рассмотрим функцию . Аналогично подставив в нее вместо х → λх, а вместо у → λу, получим: . То есть = , откуда по определению - однородная функция второго порядка.

Дифференциальное уравнение вида , где и - однородные функции одинакового порядка, будем называть однородным.

Так, дифференциальное уравнение будет являться однородным в силу того, что обе функции при dx и dy – однородные второго порядка (см. пример 39.1).

1. Методика решения однородных дифференциальных уравнений первого порядка

Однородное уравнение можно преобразовать к уравнению с разделяющимися переменными при помощи подстановки , где - новая неизвестная функция.

Найдем dy по правилу нахождения производной произведения: или .

Сформулируем алгоритм решения однородных дифференциальных уравнений:

1. Выполнить подстановки: и . В получившемся дифференциальном уравнении раскрыть скобки и привести подобные слагаемые. Должно получиться уравнение с разделяющимися переменными.
2. Проинтегрировать обе части уравнения с разделяющимися переменными относительно переменных x и z. Найти общее решение дифференциального уравнения.
3. В общем решении вернуться к переменным x и у, подставив вместо z выражение: .
4. Выписать в ответе получившееся общее решение дифференциального уравнения.

Пример 39.2. Найдите решение дифференциального уравнения: .

Решение. Данное уравнение – однородное дифференциальное уравнение первого порядка.

1. Выполним подстановки: и :

.

Раскроем скобки:

.

Приведем подобные слагаемые: первое и последнее взаимно уничтожаются. Получим:

.

Перед нами уравнение с разделяющимися переменными. Соберем в левой части выражения, содержащие dx, в правой – выражения, содержащие dу.

.

Тогда или - уравнение с разделёнными переменными.

2. Интегрируя обе части, получим: или .

3. Подставим вместо z выражение: : или . Это и есть общее решение исходного однородного дифференциального уравнения.

Ответ: .

Контрольные вопросы:

1. Какие функции называют однородными функциями п -го порядка?
2. Каков общий вид однородного дифференциального уравнения первого порядка?
3. Какие из приведенных ниже дифференциальных уравнений являются однородными: а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) ?
4. Какова методика решения однородных дифференциальных уравнений первого порядка?

Дата добавления: 2014-12-27