Виды фигур, площадь которых находится с помощью определенного интеграла

№	Вид фигуры	Площадь фигуры	№	Вид фигуры	Площадь фигуры
		Фигура расположена выше оси Ох (криволинейная трапеция) S=	4		Часть фигуры, огран. графиками двух функций, находится выше, а часть ниже оси Ох S= -
		Фигура расположена ниже оси Ох S= или S=			Фигура ограничена графиками двух неотрицательных функций S= +
		Часть фигуры, огран. графиком одной функции, находится выше, а часть ниже оси Ох S= +			Фигура ограничена графиками двух неотрицательных функций S=

Пример 23.1. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями , отрезком оси Ох, прямыми и .

Решение. 1. Построим заданную фигуру. График функции - синусоида, строится с использованием следующих характерных точек:

х				π
у				-1

Прямые и проходят через соответствующие точки и параллельны оси Оу. В итоге получим фигуру, обозначенную штриховкой на рис. 23.4.

2. Согласно таблице 23.1. рассматриваемая фигура соответствует 3 типу. Её площадь находится как сумма площадей двух частей фигуры: части, находящейся выше оси Ох, и части, находящейся ниже оси.

Площадь части, находящейся выше оси Ох, можно найти по формуле S₁= .

Площадь части, находящейся ниже оси Ох, можно найти по формуле S₂= .

Вычислим S₁ и S₂: S₁= = = - = + = .

S₂= = = = - =1-0=1.

Для нахождения общей площади S, сложим значения S₁ и S₂: S = S₁ + S₂ = =2,5.

Ответ: S =2,5.

Пример 23.2. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями и .

Решение. 1. Построим фигуру, ограниченную графиками функций и (рис. 23.5). Линия, задаваемая уравнением - прямая. Построим ее по двум точкам.

х		-3
у

Линия, задаваемая уравнением - парабола, ветви которой направлены вверх. Построим ее методом преобразований: выполним параллельный перенос графика функции на 1 единицу вверх.

Получили фигуру, ограниченную двумя графиками функций.

2. Согласно таблице 23.1. рассматриваемая фигура соответствует 6 типу. Её площадь можно вычислить по формуле: S= , где f(x) – функция, ограничивающая фигуру "сверху" (), а g(x) - функция, ограничивающая фигуру "снизу" ().

Границы интегрирования а и b в данном случае не следуют непосредственно из условия задачи. Решив уравнение , мы найдем абсциссы точек пересечения графиков соответствующих функций, т.е. а и b.

; . Найдем корни уравнения по теореме, обратной теореме Виета: х₁ =-1 или х₂ =2. Следовательно, а= -1, b= 2.

Составим формулу для вычисления площади искомой фигуры: S= .

3. Вычислим значение площади: S= = = = = = = = = = = = =4,5.

Ответ: S =4,5.

Дата добавления: 2014-12-27