Запись приближенных чисел. Верные и значащие цифры

Создатель теории приближенных вычислений А.Н.Крылов говорил: "При производстве всяких численных вычислений надо руководствоваться правилом: точность вычислений должна соответствовать точности данных и той практической потребности, для которой вычисления производятся". Ему же принадлежат слова: "Помните, что каждая неверная цифра – это ошибка, всякая лишняя цифра – это пол-ошибки".

Приближенные числа записываются, как правило, при помощи десятичных дробей. Между записью приближенных и точных чисел есть различия. Если перед нами точное число, то все его цифры являются верными, точными. Что же касается приближенного числа, то некоторые его цифры верны, а другие являются сомнительными.

Цифра десятичного разряда приближенного числа х приближения называется верной, если в том же десятичном разряде чисел и стоит эта же цифра. В противном случае она называется сомнительной.

Проверку на верные и сомнительные цифры нужно начинать слева направо с наивысшего разряда. Все цифры, стоящие правее первой найденной сомнительной цифры, автоматически считаются сомнительными.

Пример 45.4. Найдите верные и сомнительные цифры в записи числа .

Решение. Поскольку , запишем диапазон возможных значений в виде двойного неравенства: .

Начинаем проверку на верные и сомнительные цифры с наивысшего разряда – единиц. Видим, что цифры 3,45 одинаковы в левой и правой части двойного неравенства (т.е. в записи и ), следовательно, по определению в записи приближенного числа 3,4531 эти цифры являются верными.

Цифры в разряде тысячных в правой и левой части двойного неравенства отличаются (1 и 5), следовательно, в записи приближенного числа 3,4531 цифра 3, стоящая в разряде тысячных, и цифра 1, стоящая за ней, являются сомнительными.

Итак, точное число обязательно начинается с цифр 3,45. Какие цифры стоят в остальных разрядах числа, точно сказать невозможно.

верные

Ответ: .

Для записи приближенных чисел существуют следующие правила:

1. Оставлять в записи числа только верные цифры.

2. Если в десятичной дроби последние верные цифры нули, то их надо выписывать.

3. Если число содержит на конце целой части сомнительные цифры, то они должны быть заменены на 10 ^п, где п – число цифр, которые нужно заменить.

4. Граница абсолютной погрешности числа, содержащего только верные цифры, равна единице последнего разряда

Проиллюстрируем применение данных правил на конкретных примерах.

1. Поскольку в записи числа следует оставлять только верные цифры, то в примере 45.4 точное значение будет записано следующим образом: = 3,45. В этом случае граница абсолютной погрешности .

2. Если задано число , то нетрудно показать, что в записи приближенного числа 3,005 цифры 3,00 являются верными, а 5 - сомнительной. Для записи точного числа выпишем все его верные цифры, включая нули на конце: = 3,00. Эта запись показывает, что граница абсолютной погрешности равна единице последнего разряда, т.е. 0,01. Если бы мы записали это число как = 3, то граница абсолютной погрешности была бы равна 1, а это значительно более низкая точность, чем заданная в примере 0,01.

3. Пусть задано число . В записи приближенного числа 3005 цифры 300 являются верными, а 5 - сомнительной. Для записи точного числа выпишем все его верные цифры 300, а вместо одной сомнительной цифры 5 запишем умножение на 10¹, поскольку заменяем только одну цифру. Тогда .

В науке принято записывать числа в стандартном виде, т.е. в виде , где - цифры, причем , (в целой части числа стоит только одна цифра, отличная от нуля). Число = 300∙10¹ в стандартном виде будет представлено как = =3,00∙10³.

Значащими цифрами числа называют все его верные цифры, за исключением нулей, стоящих левее первой отличной от нуля цифры.

Например, число 0,712 содержит три значащие цифры: 7, 1, 2. Число 0,00012 – две значащие цифры: 1 и 2. Число 3,00∙10³ – три значащие цифры: 3, 0, 0.

Дата добавления: 2014-12-27